Câu hỏi:
2 năm trước
Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{2^x} - {2^y} = (y - x)(xy + 2)\\{x^2} + {y^2} = 2\end{array} \right.$ có nghiệm \(\left( {x;y} \right)\). Khi đó phát biểu nào sau đây đúng:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
Thay (2) vào (1) ta được:
\({2^x} - {2^y} = \left( {y - x} \right)\left( {xy + {x^2} + {y^2}} \right) \Leftrightarrow {2^x} + {x^3} = {2^y} + {y^3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right).\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {2^t} + {t^3}\) trên \(\mathbb{R}\), ta có: \(f'\left( t \right) = {2^t}.\ln 2 + 3{t^2} > 0,\,\forall t \in \mathbb{R}.\)
Suy ra, hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
Do đó, từ (3) ta có: \(f\left( x \right) = f\left( y \right) \Leftrightarrow x = y\)
Thay \(x = y\) vào (2) ta được: \(2{x^2} = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow y = 1\\x = - 1 \Rightarrow y = - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left( {x;y} \right) = \left( {1;1} \right),\left( { - 1; - 1} \right).\)
Hướng dẫn giải:
- Thay \(2 = {x^2} + {y^2}\) vào phương trình đầu thu được một phương trình mới.
- Sử dụng phương pháp hàm số giải phương trình vừa có được.
