Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{3^x} = 2y + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{3^y} = 2x + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\) có nghiệm \(\left( {x;y} \right)\). Khi đó phát biểu nào sau đây đúng:

Trừ vế theo vế (1) cho (2) ta được: \({3^x} - {3^y} = 2y - 2x \Leftrightarrow {3^x} + 2x = {3^y} + 2y\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {3^t} + 2t\) trên \(\mathbb{R},\) ta có: \(f'\left( t \right) = {3^t}\ln 3 + 2 > 0,\,\forall t \in \mathbb{R}.\)

Vậy hàm số\(f\left( t \right)\)  đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

Do đó: \(\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = f\left( y \right) \Leftrightarrow x = y.\)

Thay \(x = y\) vào (1) ta được: \({3^x} - 2x - 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {**} \right)\)

Xét hàm số \(g\left( a \right) = {3^a} - 2a - 1\) trên \(\left[ {{{\log }_3}\left( {\dfrac{2}{{\ln 3}}} \right); + \infty } \right)\), ta có:

\(g'\left( a \right) = {3^a}\ln 3 - 2 \ge 0,\,\forall a \in \left[ {{{\log }_3}\left( {\dfrac{2}{{\ln 3}}} \right); + \infty } \right).\)

Vậy hàm số \(g\left( a \right)\) đồng biến trên \(\left[ {{{\log }_3}\left( {\dfrac{2}{{\ln 3}}} \right); + \infty } \right)\).

 Lại có \(g\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow \left( {**} \right) \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y = 1.\)

Xét hàm số \(u\left( b \right) = {3^b} - 2b - 1\)trên \(\left( { - \infty ;{{\log }_3}\left( {\dfrac{2}{{\ln 3}}} \right)} \right)\), ta có:

\(u'\left( b \right) = {3^b}\ln 3 - 2 < 0,\,\forall b \in \left( { - \infty ;{{\log }_3}\left( {\dfrac{2}{{\ln 3}}} \right)} \right).\)

Vậy hàm số \(u\left( b \right)\) nghịch biến trên\(\left( { - \infty ;{{\log }_3}\left( {\dfrac{2}{{\ln 3}}} \right)} \right).\)

 Lại có \(f\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow \left( {**} \right) \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow y = 0.\)