Cho đồ thị biểu diễn vận tốc của hai xe \(A\) và \(B\) khởi hành cùng một lúc và cùng vạch xuất phát, đi cùng chiều trên một con đường. Biết đồ thị biểu diễn vận tốc của xe \(A\) là một đường parabol và đồ thị biểu diễn vận tốc của xe \(B\) là một đường thẳng như hình vẽ bên. Hỏi sau 5 giây kể từ lúc xuất phát thì khoảng cách giữa hai xe là bao nhiêu mét? (Biết rằng xe \(A\) sẽ dừng lại khi vận tốc bằng 0 ).
Bước 1: Biểu diễn vận tốc của xe A và xe B theo thời gian t. Dựa vào các điểm thuộc đồ thị và lập hệ tìm hệ số.
Biểu đồ biểu diễn vận tốc của xe \(A\) là \((P):{v_A} = a{t^2} + bt + c(a \ne 0)\) đi qua điểm \((0;0);(3;60);(4;0) \Rightarrow {v_A} = - 20{t^2} + 80t\).
Biểu thức biểu diễn vận tốc của xe \(B\) là đường thẳng \(\Delta :{v_B} = mt + n(m \ne 0)\) đi qua điểm \((0;0);(3;60) \Rightarrow {v_B} = 20t\).
Bước 2: Tính khoảng cách giữa hai xe sau 5 giây
Ta có \({v_A} = - 20{t^2} + 80t = 0 \Rightarrow t = 4\) nên xe \(A\) dừng lại sau giây thứ 4 . Do đó quãng đường xe \(A\) đi được sau 4 giây là \({S_A} = \int_0^4 {\left( { - 20{t^2} + 80t} \right)} dt = \dfrac{{640}}{3}(m)\). Quāng đường xe \(B\) đi được sau 5 giây đầu là \({S_B} = \int_0^5 {(20t)} dt = 250(m)\). Khoảng cách giữa hai xe sau 5 giây kể từ lúc xuất phát là \(\Delta S = \left| {{S_A} - {S_B}} \right| = \dfrac{{110}}{3}(m)\).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^2}\) và đường thẳng \(y = 2x\) là:
Xét phương trình hoành độ giao điểm: \({x^2} = 2x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 2x} \right|dx} = \left| {\int\limits_0^2 {\left( {{x^2} - 2x} \right)dx} } \right| = \dfrac{4}{3}\)
Khẳng định nào sau đây là sai ?
Dễ thấy các đáp án A, B, D đúng.
Đáp án C sai vì \(f\left( {kx} \right) \ne k.f\left( x \right)\) , ví dụ ta lấy $k=2$.
Ta có:
\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = {x^2} \Rightarrow f\left( {2x} \right) = {\left( {2x} \right)^2} = {2^2}{x^2}\\2.f\left( x \right) = 2{x^2}\\ \Rightarrow f\left( {2x} \right) \ne 2.f\left( x \right)\end{array}\)
Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {2^x} - \cos x + 1\).
\(\int\limits_{}^{} {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{}^{} {\left( {{2^x} - \cos x + 1} \right)dx} = \dfrac{{{2^x}}}{{\ln 2}} - \sin x + x + C\)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = 2{x^2} - 4x - 6\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = - 2,x = - 4\).
Xét phương trình hoành độ giao điểm \(2{x^2} - 4x - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1 \notin \left[ { - 4; - 2} \right]\\x = 3 \notin \left[ { - 4; - 2} \right]\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow S = \int\limits_{ - 4}^{ - 2} {\left| {2{x^2} - 4x - 6} \right|dx} = \left| {\int\limits_{ - 4}^{ - 2} {\left( {2{x^2} - 4x - 6} \right)dx} } \right| = \dfrac{{148}}{3}\)
Biết rằng \(\int\limits_{}^{} {{e^x}\cos xdx} = \left( {a\cos x + b\sin x} \right){e^x} + C\,\,\left( {a;b \in R} \right)\). Tính tổng \(T = a + b\).
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \cos x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = - \sin xdx\\v = {e^x}\end{array} \right. \) \(\Rightarrow I = {e^x}.\cos x + \int\limits_{}^{} {{e^x}\sin xdx} + {C_1}\)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \sin x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \cos xdx\\v = {e^x}\end{array} \right. \) \(\Rightarrow \int\limits_{}^{} {{e^x}\sin xdx} = {e^x}\sin x - \int\limits_{}^{} {{e^x}\cos xdx} + {C_2}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = {e^x}\cos x + {e^x}\sin x - I + C'\\ \Rightarrow 2I = {e^x}\cos x + {e^x}\sin x + C'\\ \Rightarrow I = \left( {\dfrac{1}{2}\cos x + \dfrac{1}{2}\sin x} \right){e^x} + C\\ \Rightarrow a = b = \dfrac{1}{2} \Rightarrow T = a + b = 1\end{array}\)
Giả sử a, b là hai số nguyên thỏa mãn \(\int\limits_1^5 {\dfrac{{dx}}{{x\sqrt {3x + 1} }} = a\ln 3 + b\ln 5} \). Tính giá trị của biểu thức \(P = {a^2} + ab + 3{b^2}.\)
Đặt \(t = \sqrt {3x + 1} \Leftrightarrow {t^2} = 3x + 1 \Leftrightarrow 2tdt = 3dx \Rightarrow dx = \dfrac{{2tdt}}{3}\) , đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 2\\x = 5 \Rightarrow t = 4\end{array} \right.\)
$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int\limits_1^5 {\dfrac{{dx}}{{x\sqrt {3x + 1} }}} = \int\limits_2^4 {\dfrac{{\dfrac{{2tdt}}{3}}}{{\dfrac{{{t^2} - 1}}{3}.t}}} = 2\int\limits_2^4 {\dfrac{{dt}}{{{t^2} - 1}}} = \int\limits_2^4 {\left( {\dfrac{1}{{t - 1}} - \dfrac{1}{{t + 1}}} \right)dt} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left. {\ln \left| {\dfrac{{t - 1}}{{t + 1}}} \right|} \right|_2^4 = \ln \dfrac{3}{5} - \ln \dfrac{1}{3} = \ln 3 - \ln 5 + \ln 3 = 2\ln 3 - \ln 5\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 1\end{array} \right. \Rightarrow P = {a^2} + ab + 3{b^2} = {2^2} - 2 + 3{\left( { - 1} \right)^2} = 5.\end{array}$
Cho \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} = 4.\) Tính \(\int\limits_1^3 {\left[ {x - 2f\left( x \right)} \right]dx} \)
\(\int\limits_1^3 {\left[ {x - 2f\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_1^3 {xdx} - 2\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} = \left. {\dfrac{{{x^2}}}{2}} \right|_1^3 - 2.4 = - 4\)
Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {x.{e^x}dx} \) .
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = {e^x}\end{array} \right. \Rightarrow I = \left. {x.{e^x}} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {{e^x}dx} = e - \left. {{e^x}} \right|_0^1 = e - \left( {e - 1} \right) = 1.$
Cho các phát biểu sau: (Với $C$ là hằng số):
(I) \(\int\limits_{}^{} {0dx} = x + C\)
(II) \(\int\limits_{}^{} {\dfrac{1}{x}dx} = \ln \left| x \right| + C\)
(III) \(\int\limits_{}^{} {\sin xdx} = - \cos x + C\)
(IV) \(\int\limits_{}^{} {\cot xdx} = - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} + C\)
(V) \(\int\limits_{}^{} {{e^x}dx} = {e^x} + C\)
(VI) \(\int\limits_{}^{} {{x^n}dx} = \dfrac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\,\,\left( {\forall n \ne - 1} \right)\)
Số phát biểu đúng là:
Mệnh đề (I) và mệnh đề (IV) sai nên có 4 mệnh đề đúng.
Cho đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\). Diện tích S của hình phẳng (phần tô đậm trong hình dưới) là:
Ta thấy diện tích hình phẳng (phần tô đậm) được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),y = 0,x = - 2,x = 3\), do đó \(S = \int\limits_{ - 2}^3 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \) .
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:
\(\begin{array}{l}f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x \in \left( {0;3} \right) \Rightarrow \left| {f\left( x \right)} \right| = f\left( x \right)\,\,\forall x \in \left( {0;3} \right)\\f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - 2;0} \right) \Rightarrow \left| {f\left( x \right)} \right| = - f\left( x \right)\,\,\forall x \in \left( { - 2;0} \right)\\ \Rightarrow S = \int\limits_{ - 2}^3 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_{ - 2}^0 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} + \int\limits_0^3 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = - \int\limits_{ - 2}^0 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} \end{array}\)
Tính tích phân \(I = \int\limits_1^e {\dfrac{{{{\ln }^2}x}}{x}dx} \) .
Đặt \(t = \ln x \Rightarrow dt = \dfrac{{dx}}{x}\).
Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 0\\x = e \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\) .
\( \Rightarrow I = \int\limits_0^1 {{t^2}dt} = \left. {\dfrac{{{t^3}}}{3}} \right|_0^1 = \dfrac{1}{3}\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{2x - 1}}\) và \(f\left( 1 \right) = 1\). Tính \(f\left( { - 5} \right)\) ?
Ta có:
\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = \int\limits_{}^{} {f'\left( x \right)dx} = \int\limits_{}^{} {\dfrac{1}{{2x - 1}}dx} = \dfrac{1}{2}\ln \left| {2x - 1} \right| + C\\f\left( 1 \right) = \dfrac{1}{2}\ln 1 + C = 1 \Rightarrow C = 1\\ \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{1}{2}\ln \left| {2x - 1} \right| + 1\\ \Rightarrow f\left( { - 5} \right) = \dfrac{1}{2}\ln 11 + 1 = 1 + \ln \sqrt {11} \end{array}\)
Tính tích phân \(I = \int\limits_0^\pi {{{\cos }^3}x\sin xdx} \) ?
Đặt \(t = \cos x \Leftrightarrow dt = - \sin xdx\).
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = \pi \Rightarrow t = - 1\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow I = - \int\limits_1^{ - 1} {{t^3}dt} = \int\limits_{ - 1}^1 {{t^3}dt} = \left. {\dfrac{{{t^4}}}{4}} \right|_{ - 1}^1 = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4} = 0\)
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm số chẵn và \(\int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right)dx} = a\). Tính \(I = \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} \)
Đặt \(t = - x \Rightarrow x=-t \Rightarrow dx = - dt\) , đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 \Rightarrow t = -3\\x = 0 \Rightarrow t = 0\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow I =\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = - \int\limits_0^{ - 3} {f\left( { - t} \right)dt} \)\( = \int\limits_{ - 3}^0 {f\left( { - t} \right)dt} = \int\limits_{ - 3}^0 {f\left( { - x} \right)dx} \)
Do \(f\left( x \right)\) là hàm số chẵn \( \Rightarrow f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\,\,\forall x \in TXD\).
\( \Rightarrow I = \int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right)dx} = a.\)
Hàm số \(F\left( x \right) = {x^5} + 5{x^3} - x + 2\) là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây? (C là hằng số).
\(\begin{array}{l}F\left( x \right) = \int\limits_{}^{} {f\left( x \right)dx} \Rightarrow F'\left( x \right) = f\left( x \right)\\ \Rightarrow f\left( x \right) = F'\left( x \right) = 5{x^4} + 15{x^2} - 1\end{array}\)
Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sin 2x\) thỏa \(F\left( 0 \right) = \dfrac{3}{2}.\) Tính \(F\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right)?\)
\(\begin{array}{l}F\left( x \right) = \int\limits_{}^{} {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{}^{} {\sin 2xdx} = - \dfrac{{\cos 2x}}{2} + C\\F\left( 0 \right) = - \dfrac{1}{2} + C = \dfrac{3}{2} \Rightarrow C = 2\\ \Rightarrow F\left( x \right) = - \dfrac{{\cos 2x}}{2} + 2\\ \Rightarrow F\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = - \dfrac{{\cos \pi }}{2} + 2 = \dfrac{1}{2} + 2 = \dfrac{5}{2}\end{array}\)
Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^3} - 2{x^2}}}{{{x^3}}}\) ?
Ta có:
\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = \dfrac{{{x^3} - 2{x^2}}}{{{x^3}}} = 1 - \dfrac{2}{x}\\ \Rightarrow \int\limits_{}^{} {f\left( x \right)dx} = x - 2\ln \left| x \right| + C\end{array}\)
Tính tích phân \(I = \int\limits_0^2 {\dfrac{x}{{\sqrt {1 + x} }}dx} \) ?
Đặt \(t = \sqrt {1 + x} \Rightarrow {t^2} = 1 + x \Leftrightarrow 2tdt = dx\).
Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = 2 \Rightarrow t = \sqrt 3 \end{array} \right.\)
\( \Rightarrow I = \int\limits_1^{\sqrt 3 } {\dfrac{{{t^2} - 1}}{t}.2tdt} = 2\int\limits_1^{\sqrt 3 } {\left( {{t^2} - 1} \right)dt} = 2\left. {\left( {\dfrac{{{t^3}}}{3} - t} \right)} \right|_1^{\sqrt 3 } = 2\left( {\dfrac{{3\sqrt 3 }}{3} - \sqrt 3 - \dfrac{1}{3} + 1} \right) = \dfrac{4}{3}\)
Viết công thức tính thể tích \(V\) của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục $Ox$ và hai đường thẳng \(x = a,x = b\,\,\left( {a < b} \right)\) xung quanh trục \(Ox?\)
Thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục $Ox$ và hai đường thẳng \(x = a,x = b\,\,\left( {a < b} \right)\) xung quanh trục \(Ox\) là: \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)} dx\)
