Câu hỏi:
2 năm trước
Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{2^x} - {2^y} = y - x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x^2} + xy + {y^2} = 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)có nghiệm \(\left( {x;y} \right)\). Khi đó phát biểu nào sau đây đúng:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Ta có: \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {2^x} + x = {2^y} + y\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {2^t} + t\) trên \(\mathbb{R},\) ta có: \(f'\left( t \right) = {2^t}\ln 2 + 1 > 0,\,\forall t \in \mathbb{R}.\)
Vậy hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
Do đó: \(\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = f\left( y \right) \Leftrightarrow x = y.\)
Thay \(x = y\) vào (2) ta được: \(3{x^2} = 3 \Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow y = 1\\x = - 1 \Rightarrow y = - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left( {x;y} \right) = \left( {1;1} \right),\left( { - 1; - 1} \right).\)
Hướng dẫn giải:
Biến đổi phương trình \(\left( 1 \right)\) về dạng đặc biệt rồi dùng hàm đặc trưng giải phương trình.
