Cho hàm số \(y=\dfrac{4x-3}{x-3}\) có đồ thị \(C\). Biết đồ thị \(\left( C \right)\) có hai điểm phân biệt M, N và khoảng cách từ M hoặc N đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất. Khi đó MN có giá trị bằng:
Trả lời bởi giáo viên
TXĐ: \(D=R\backslash \left\{ 3 \right\}\)
Đồ thị hàm số có đường TCN \(y=4\,\,\left( {{d}_{1}} \right)\) và TCĐ \(x=3\,\,\left( {{d}_{2}} \right)\).
Gọi điểm \(M\in \left( C \right)\) có dạng \(M\left( a;\dfrac{4a-3}{a-3} \right)\) khi đó ta có:
\(\begin{align}d\left( M;{{d}_{2}} \right)=\left| a-3 \right|;\,\,d\left( M;{{d}_{1}} \right)=\left| \dfrac{4a-3}{a-3}-4 \right|=\dfrac{9}{\left| a-3 \right|} \\\Rightarrow d\left( M;{{d}_{2}} \right)+d\left( M;{{d}_{1}} \right)=\left| a-3 \right|+\dfrac{9}{\left| a-3 \right|}\ge 2\sqrt{9}=3 \\\end{align}\)
Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow \left| a-3 \right|=\dfrac{9}{\left| a-3 \right|}\Leftrightarrow {{\left( a-3 \right)}^{2}}=9\Leftrightarrow \left[ \begin{align}a=6 \\a=0 \\\end{align} \right.\)
\(\Rightarrow M\left( 6;7 \right),\,\,N\left( 0;1 \right)\Rightarrow MN=\sqrt{{{6}^{2}}+{{6}^{2}}}=6\sqrt{2}\)
Hướng dẫn giải:
Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.
Gọi điểm M thuộc đồ thị hàm số \(\left( C \right)\), tính khoảng cách từ M đến các đường tiệm cận và sử dụng BĐT Cauchy tìm GTNN của biểu thức đó từ đó suy ra tọa độ các điểm M, N.
Tính độ dài MN.