Cho hàm số \(y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+9x+3\) có đồ thị \((C)\). Tìm giá trị thực của tham số k để tồn tại hai tiếp tuyến phân biệt với đồ thị \((C)\) có cùng hệ số góc k, đồng thời đường thẳng đi qua các tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó với \((C)\) cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho OB = 2018OA.

TXĐ: \(D=R\)

\(y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+9x+3\Rightarrow y'=3{{x}^{2}}+6x+9\)

Gọi \(M\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),\,\,N\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)\), (\({{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}\)) là 2 tiếp điểm.

\(M,N\in \left( C \right)\Rightarrow {{y}_{1}}={{x}_{1}}^{3}+3{{x}_{1}}^{2}+9{{x}_{1}}+3,\,\,\,{{y}_{2}}={{x}_{2}}^{3}+3{{x}_{2}}^{2}+9{{x}_{2}}+3\)

Tiếp tuyến tại M, N của (C) có hệ số góc đều bằng k \(\Leftrightarrow 3{{x}_{1}}^{2}+6{{x}_{1}}+9=3{{x}_{2}}^{2}+6{{x}_{2}}+9=k\)

\(\Rightarrow {{x}_{1}}^{2}+2{{x}_{1}}-{{x}_{2}}^{2}-2{{x}_{2}}=0\Leftrightarrow \left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+2 \right)=0\Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+2=0\Leftrightarrow {{x}_{2}}=-{{x}_{1}}-2\)

 Theo đề bài, ta có: OB = 2018OA \(\Rightarrow \) Phương trình đường thẳng MN có hệ số góc bằng 2018 hoặc – 2018.

TH1: Phương trình đường thẳng MN có hệ số góc là 2018 \(\Rightarrow \frac{{{y}_{2}}-{{y}_{1}}}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}=2018\Leftrightarrow {{y}_{2}}-{{y}_{1}}=2018({{x}_{2}}-{{x}_{1}})\)

\(\begin{align}  \Leftrightarrow \left( {{x}_{2}}^{3}+3{{x}_{2}}^{2}+9{{x}_{2}}+3 \right)-\left( {{x}_{1}}^{3}+3{{x}_{1}}^{2}+9{{x}_{1}}+3 \right)=2018({{x}_{2}}-{{x}_{1}}) \\  \Leftrightarrow ({{x}_{2}}-{{x}_{1}})({{x}_{2}}^{2}+{{x}_{2}}{{x}_{1}}+{{x}_{1}}^{2}+3{{x}_{2}}+3{{x}_{1}}-2009)=0 \\  \Leftrightarrow {{x}_{2}}^{2}+{{x}_{2}}{{x}_{1}}+{{x}_{1}}^{2}+3{{x}_{2}}+3{{x}_{1}}-2009=0,\,\,do\,\,{{x}_{2}}\ne {{x}_{1}} \\  \Leftrightarrow {{({{x}_{2}}+{{x}_{1}})}^{2}}+3({{x}_{2}}+{{x}_{1}})-{{x}_{1}}{{x}_{2}}-2009=0 \\  \Rightarrow {{(-2)}^{2}}+3.(-2)-{{x}_{1}}{{x}_{2}}-2009=0\Leftrightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-2011 \\ \end{align}\)

\(\Rightarrow {{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}\) là nghiệm của phương trình \({{X}^{2}}+2X-2011=0\)

\(\Rightarrow {{x}_{1}}^{2}+2{{x}_{1}}-2011=0\Leftrightarrow 3{{x}_{1}}^{2}+6{{x}_{1}}+9=6042\)

\(\Rightarrow k=3{{x}_{1}}^{2}+6{{x}_{1}}+9=6042\)

TH2:  MN có hệ số góc là 2018. Dễ đang kiểm rằng : Không có giá trị của \({{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}\) thỏa mãn.

Vậy k = 6042.