Cho hàm số \(y=\frac{x+1}{x+2}\)  có đồ thị (C) và đường thẳng \(d:\,y=-2x+m-1\) (m là số thực). Với mọi m, đường thẳng d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi \({{k}_{1}},{{k}_{2}}\) lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại A và B. Xác định m để biểu thức \(P={{\left( 3{{k}_{1}}+1 \right)}^{2}}+{{\left( 3{{k}_{2}}+1 \right)}^{2}}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có: \(y'=\frac{1}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}\).

Xét phương trình hoành độ giao điểm \(\frac{x+1}{x+2}=-2x+m-1\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-\left( m-6 \right)x+3-2m=0\left( x\ne -2 \right)\).

Đường thẳng \(d\) cắt \(\left( C \right)\) tạo hai điểm phân biệt 

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\x \ne - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 6} \right)^2} - 8\left( {3 - 2m} \right) > 0\\2.{\left( { - 2} \right)^2} - \left( {m - 6} \right).\left( { - 2} \right) + 3 - 2m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 4m + 12 > 0\\ - 1 \ne 0\end{array} \right.\)

(luôn đúng)

Do đó \(d\) cắt \(\left( C \right)\) tạo hai điểm phân biệt \(A\left( {{x}_{1}};-2{{x}_{1}}+m-1 \right),B\left( {{x}_{2}};-2{{x}_{2}}+m-1 \right)\) thỏa mãn: \(\left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{m-6}{2} \\  & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{3-2m}{2} \\ \end{align} \right.\)

Hệ số góc của các tiếp tuyến tại \(A,B\) lần lượt là \({{k}_{1}}=\frac{1}{{{\left( {{x}_{1}}+2 \right)}^{2}}};{{k}_{2}}=\frac{1}{{{\left( {{x}_{2}}+2 \right)}^{2}}}\) .

\(\begin{align}  & \Rightarrow {{k}_{1}}+{{k}_{2}}=\frac{1}{{{\left( {{x}_{1}}+2 \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( {{x}_{2}}+2 \right)}^{2}}}=\frac{x_{2}^{2}+4{{x}_{2}}+4+x_{1}^{2}+4{{x}_{1}}+4}{{{\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}}+2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+4 \right)}^{2}}}=\frac{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}+4\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+8}{{{\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}}+2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+4 \right)}^{2}}} \\  & =\frac{{{\left( \frac{m-6}{2} \right)}^{2}}+4.\frac{m-6}{2}-2.\frac{3-2m}{2}+8}{{{\left( \frac{3-2m}{2}+2.\frac{m-6}{2}+4 \right)}^{2}}}=\frac{{{m}^{2}}+4m+8}{4}:\frac{1}{4}={{m}^{2}}+4m+8 \\  & {{k}_{1}}{{k}_{2}}=\frac{1}{{{\left( {{x}_{1}}+2 \right)}^{2}}}.\frac{1}{{{\left( {{x}_{2}}+2 \right)}^{2}}}=\frac{1}{{{\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}}+2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+4 \right)}^{2}}}=\frac{1}{1/4}=4 \\ \end{align}\)

Khi đó:

\(\begin{align}  & {{\left( 3{{k}_{1}}+1 \right)}^{2}}+{{\left( 3{{k}_{2}}+1 \right)}^{2}}=9\left( k_{1}^{2}+k_{2}^{2} \right)+6\left( {{k}_{1}}+{{k}_{2}} \right)+2=9\left[ {{\left( {{k}_{1}}+{{k}_{2}} \right)}^{2}}-2{{k}_{1}}{{k}_{2}} \right]+6\left( {{k}_{1}}+{{k}_{2}} \right)+2 \\  & =9\left[ {{\left( {{m}^{2}}+4m+8 \right)}^{2}}-2.4 \right]+6\left( {{m}^{2}}+4m+8 \right)+2=9{{\left( {{m}^{2}}+4m+8 \right)}^{2}}+6\left( {{m}^{2}}+4m+8 \right)-70 \\  & ={{\left[ 3\left( {{m}^{2}}+4m+8 \right)+1 \right]}^{2}}-71={{\left[ 3{{\left( m+2 \right)}^{2}}+13 \right]}^{2}}-71\ge {{13}^{2}}-75=98 \\  & \Rightarrow P\ge 98\Rightarrow {{P}_{\min }}=98 \\ \end{align}\)

Vậy \({{P}_{\min }}=98\) khi \(m=-2\).