Bài toán tiếp tuyến với đồ thị và sự tiếp xúc của hai đường cong

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(y=k(x-2)\) và (C) là:

\(\begin{array}{l}{x^3} - 3{x^2} + 4 = k(x - 2)\\ \Leftrightarrow (x - 2)({x^2} - x - 2) - k(x - 2) = 0\\ \Leftrightarrow (x - 2)\left[ {{x^2} - x -2- k} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\{x^2} - x -2- k = 0\,\,\,(*)\end{array} \right.\end{array}\)

*) \(x=2\Rightarrow y=0\Rightarrow M(2;0)\)

*) \({{x}^{2}}-x-2-k=0\)

Để (C) cắt d tại 3 điểm phân biệt M, N, P thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 2

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta = 1 + 4\left( {2 + k} \right) > 0\\
{2^2} - 2 - 2 - k \ne 0
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
9 + 4k > 0\\
k \ne 0
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k > - \frac{9}{4}\\
k \ne 0
\end{array} \right.\)

Gọi \({{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}\) lần lượt là hoành độ của điểm N, P. Theo Vi – et, ta có: \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}=1,\,\,{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-2-k\)

Ta có: \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4\Rightarrow y'=3{{x}^{2}}-6x\)

Tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau \(\Leftrightarrow y'({{x}_{1}}).y'({{x}_{2}})=-1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {3{x_1}^2 - 6{x_1}} \right)\left( {3{x_2}^2 - 6{x_2}} \right) =  - 1 \\\Leftrightarrow {\left( {3{x_1}{x_2}} \right)^2} - 18{x_1}{x_2}({x_1} + {x_2}) + 36{x_1}{x_2} + 1 = 0\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {\left[ {3\left( { - k - 2} \right)} \right]^2} - 18\left( { - k - 2} \right).1 + 36\left( { - k - 2} \right) + 1 = 0\\
\Leftrightarrow {\rm{9}}{\left( {k + 2} \right)^2} + 18\left( {k + 2} \right) - 36\left( {k + 2} \right) + 1 = 0\\
\Leftrightarrow {\rm{9}}{\left( {k + 2} \right)^2} - 18\left( {k + 2} \right) + 1 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
k + 2 = \frac{{9 - 6\sqrt 2 }}{9}\\
k + 2 = \frac{{9 + 6\sqrt 2 }}{9}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
k = - 2 + \frac{{9 - 6\sqrt 2 }}{9}\\
k = - 2 + \frac{{9 + 6\sqrt 2 }}{9}
\end{array} \right.\left( {TM} \right)
\end{array}\)

Vậy tổng các phần tử của S là: \( - 2 + \frac{{9 - 6\sqrt 2 }}{9} - 2 + \frac{{9 + 6\sqrt 2 }}{9} = - 2\)

Hệ số góc của tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) là \(y' = 3a{x^2} + 2bx + c\)là 1 parabol đạt GTNN khi \(a > 0\) tại \(x =  - \frac{{2b}}{{2.3a}} = \frac{{ - b}}{{3a}}\).

Điều kiện : \(x\ne -\frac{1}{2}.\)

Ta có : \(y=-\frac{x}{2x+1}\Rightarrow y'=-\frac{1}{{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}.\)

Hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(\left( d \right)\) là nghiệm phương trình: \(-\frac{x}{2x+1}=x+m\)

\(\begin{align}  & \Leftrightarrow \left( 2x+1 \right)\left( x+m \right)+x=0 \\ & \Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+2\left( m+1 \right)x+m=0\ \ \ \left( * \right) \\\end{align}\)  

Có \({\Delta }'={{\left( m+1 \right)}^{2}}-2m={{m}^{2}}+1>0,\,\,\forall m\) suy ra \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( C \right)\) tại 2 điểm phân biệt.

Gọi \(A\left( {{x}_{1}};\ {{y}_{1}} \right)\) và \(B\left( {{x}_{2}};\ {{y}_{2}} \right)\) là hai giao điểm của hai đồ thị  \(\Rightarrow {{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}\) là nghiệm của \(\left( * \right).\)

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có : \(\left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\left( m+1 \right) \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{m}{2} \\\end{align} \right..\)

Khi đó tổng các hệ số góc của các tiếp tuyến tại A và B là :

 \(\begin{align}  & {{k}_{1}}+{{k}_{2}}=-\frac{1}{{{\left( 2{{x}_{1}}+1 \right)}^{2}}}-\frac{1}{{{\left( 2{{x}_{2}}+1 \right)}^{2}}}=-\frac{\left( {{\left( 2{{x}_{1}}+1 \right)}^{2}}+{{\left( 2{{x}_{2}}+1 \right)}^{2}} \right)}{{{\left( 4{{x}_{1}}{{x}_{1}}+2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+1 \right)}^{2}}} \\ & =-\frac{4\left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right)+4\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+2}{{{\left( 4{{x}_{1}}{{x}_{1}}+2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+1 \right)}^{2}}}=-\frac{4{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-8{{x}_{1}}{{x}_{2}}+4\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+2}{{{\left( 4{{x}_{1}}{{x}_{1}}+2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+1 \right)}^{2}}} \\ & =\frac{4{{\left( m+1 \right)}^{2}}-8.\frac{m}{2}-4\left( m+1 \right)+2}{{{\left( 4.\frac{m}{2}-2\left( m+1 \right)+1 \right)}^{2}}}=\frac{4{{m}^{2}}+8m+4-4m-4m-4+2}{{{\left( 2m-2m-2+1 \right)}^{2}}} \\ & =-\left( 4{{m}^{2}}+2 \right)=-\,4{{m}^{2}}-2. \\\end{align}\)

Khi đó \({{k}_{1}}+{{k}_{2}}=-\,4{{m}^{2}}-2\le -\,2\) vì \({{m}^{2}}\ge 0.\) Vậy \({{\left\{ {{k}_{1}}+{{k}_{2}} \right\}}_{\max }}\Leftrightarrow m=0.\)

Gọi độ dài đoạn thẳng IA, IB lần lượt là a, b.

Kẻ \(IH\bot AB,\,H\in AB\).

Tam giác IAB vuông tại I, \(IH\bot AB\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{{I{H^2}}} = \frac{1}{{I{A^2}}} + \frac{1}{{I{B^2}}} \Leftrightarrow I{H^2} = \frac{{I{A^2}.I{B^2}}}{{I{A^2} + I{B^2}}}\\\mathop  \le \limits^{{\mathop{\rm Cos}\nolimits} i} \frac{{I{A^2}.I{B^2}}}{{2IA.IB}} = \frac{{IA.IB}}{2} = {S_{IAB}} = const\end{array}\)

\(\Rightarrow I{{H}_{\max }}=\sqrt{{{S}_{IAB}}}\) khi và chỉ khi \(IA=IB\).

Khi đó, tam giác IAB vuông cân tại I, M trùng H.

\(\Rightarrow \)Ta tìm M bằng cách tìm giao điểm của đường thẳng IM với đồ thị (C).

 *) Viết phương trình đường thẳng IM:

Ta có: \(y=\frac{x-1}{2x-3}\Rightarrow y'=\frac{-1}{{{(2x-3)}^{2}}}<0,\,\,\forall x\ne \frac{3}{2}\): Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( -\infty ;\frac{3}{2} \right),\,\,\left( \frac{3}{2};+\infty  \right)\).

( Đồ thị hàm số có dạng như hình vẽ bên).

Đường thẳng IM là đường thẳng đi qua điểm \(I\left( \frac{3}{2};\frac{1}{2} \right)\) song song với phân giác của góc phần tư thứ nhất : \(y=x\), có phương trình là: \(y=x-1\).

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình :

       \(\left\{ \begin{array}{l}y = x - 1\\y = \frac{{x - 1}}{{2x - 3}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = x - 1\\x - 1 = \frac{{x - 1}}{{2x - 3}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = x - 1\\(x - 1)(2x - 3 - 1) = 0,\,\,x \ne \frac{3}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = x - 1\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)

 Vậy \(M\left( 1;0 \right)\) hoặc \(M\left( 2;1 \right)\).

*) Khoảng cách từ I đến đường tiếp tuyến của (C) tại M :

    \(IH=IM=\sqrt{{{\left( 1-\frac{3}{2} \right)}^{2}}+{{\left( 0-\frac{1}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2-\frac{3}{2} \right)}^{2}}+{{\left( 1-\frac{1}{2} \right)}^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Ta có \(y'={{x}^{2}}-6x+1\Rightarrow y'\left( {{x}_{0}} \right)=x_{0}^{2}-6{{x}_{0}}+1={{\left( {{x}_{0}}-3 \right)}^{2}}-8\ge -8\) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x₀, khi đó hệ số góc nhỏ nhất bằng -8 khi và chỉ khi x₀ = 3.

Tại x₀ = 3 ta có \({{y}_{0}}=-14\).

Vậy phương tình tiếp tuyến cần tìm là \(y=-8\left( x-3 \right)-14=-8x+10\)

Gọi \(M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\) là một điểm thuộc đồ thị hàm số (C). Khi đó hệ số góc của (C) tại M là:  \(k=y'\left( {{x}_{0}} \right)\)

Để k lớn nhất thì \(y'\left( {{x}_{0}} \right)\) lớn nhất.

Ta có: \(y'=-3{{x}^{2}}+6x=-3\left( {{x}^{2}}-2x+1 \right)+3=-3{{\left( x-1 \right)}^{2}}+3\ge 3\)

\(\Rightarrow Max\,y'=3\Leftrightarrow x-1=0\Leftrightarrow x=1\Rightarrow M\left( 1;\,\,4 \right).\)

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là: \(y=3\left( x-1 \right)+4=3x+1.\)

TXĐ : \(D = R\).

Ta có \(y' = 3{x^2} - 6x + 9 \Rightarrow y'\left( {{x_0}} \right) = 3x_0^2 - 6{x_0} + 9 = 3\left( {x_0^2 - 2{x_0} + 1} \right) + 6 = 3{\left( {{x_0} - 1} \right)^2} + 6 \ge 6\)

\( \Rightarrow y'{\left( {{x_0}} \right)_{\min }} = 6 \Leftrightarrow {x_0} = 1 \Rightarrow {y_0} = 2\)

Do đó phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất là \(y = 6\left( {x - 1} \right) + 2 = 6x - 4\).

Đk: \(x\ne 1\).

\({y}'=\frac{-1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\).

Hoành độ của các điểm thuộc đồ thị hàm số mà tiếp tuyến tại đó có hệ số góc bằng 2018 là nghiệm của phương trình

\(\frac{-1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=2018\) (vô nghiệm) nên không có điểm nào thỏa mãn.

Ta có \(y' = 4{x^3} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  \pm \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}\end{array} \right.\).

Xét dấu đạo hàm ta thấy hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\) nên điểm cực đại của đồ thị hàm số là \(\left( {0;2} \right)\).

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại \(\left( {0;2} \right)\) có phương trình \(y = y'\left( 0 \right)\left( {x - 0} \right) + 2 = 2\) hay \(y = 2\).

Do đó tiếp tuyến song song với đường thẳng \(y = 3\).

Phương trình trục hoành: \(y = 0\).

Ta có \(y' = 4{x^3} - 4x \Rightarrow \) Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là \(y'\left( {{x_0}} \right) = 4x_0^3 - 4{x_0}\).

Tiếp tuyến // Ox \( \Rightarrow y'\left( {{x_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x_0^3 - 4{x_0} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} =  \pm 1\end{array} \right.\).

Khi \(x=0\) ta được một tiếp tuyến là \(y=-3\).

Khi \(x=\pm1\) ta tìm được hai tiếp tuyến trùng nhau là  \(y=-4\)

Vậy có hai tiếp tuyến song song với trục hoành.

Ta có: \(y'=3{{x}^{2}}+3\)  

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \(M\left( {{x}_{0}};\ {{y}_{0}} \right)\in \left( C \right)\) là: \(y=\left( 3x_{0}^{2}+3 \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}\)

\(\begin{align}  & \Leftrightarrow y=\left( 3x_{0}^{2}+3 \right)x-3x_{0}^{3}-3{{x}_{0}}+x_{0}^{3}+3{{x}_{0}}-2 \\ & \Leftrightarrow y=\left( 3x_{0}^{2}+3 \right)x-2x_{0}^{3}-2. \\\end{align}\)

Tiếp tuyến song song với đường thẳng  \(d:\;\;y = 6x - 4 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3x_0^2 + 3 = 6\\
- 2x_0^3 - 2 \ne - 4
\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_0^2 = 1\\x_0^3 \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{x_0} = - 1\end{array} \right.\\{x_0} \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow {x_0} = 1.\)

Vậy có 1 tiếp tuyến cần tìm.

Bước 1: Tìm I và tham số hóa điểm M. Viết phương trình tiếp tuyến tại M.

Ta có \(I( - 1;2);M\left( {a;\dfrac{{2a + 1}}{{a + 1}}} \right)\). Lại có, \(y'\left( a \right) = \dfrac{1}{{{{(a + 1)}^2}}}\).

Phương trình tiếp tuyến tại \(M:y = \dfrac{1}{{{{(a + 1)}^2}}}(x - a) + \dfrac{{2a + 1}}{{a + 1}}\).

Bước 2: Tìm giao của tiếp tuyến với 2 đường tiệm cận.

Giao của tiếp tuyến và tiệm cận đứng \(A\left( { - 1;\dfrac{{2a}}{{a + 1}}} \right)\).

Giao của tiếp tuyến và tiệm cận ngang \(B(2a + 1;2)\).

Tam giác IAB vuông tại I.

Bước 3: Sử dụng công thức diện tích để chứng minh tích p.r là một hằng số không đổi.

Ta có \(IA = \dfrac{2}{{|a + 1|}};IB = 2|a + 1|\);

\({S_{\Delta IAB}} = \dfrac{1}{2}IA.IB = 2\).

Mà \({S_{\Delta IAB}} = p.r \Rightarrow p.r = 2\)

\(p = IA + IB + AB\)\( = IA + IB + \sqrt {I{A^2} + I{B^2}} \)\( \ge 2\sqrt {IA.IB}  + \sqrt {2.IA.IB} \)\( = 2\sqrt {2.4}  + \sqrt {2.2.4} =4+4\sqrt {2}\)

Bước 4: Lập luận tìm a+b.

Suy ra \({r_{\max }}\) khi \({p_{\min }}\). Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(IA = IB\).

Suy ra \(M\) là giao điểm của đường thẳng \(d\) đi qua \(I\) có hệ số góc \(k = - 1\) và đồ thị hàm số.

Phương trình \(d\) có dạng \(y - 2 =  - 1(x + 1) \Leftrightarrow y =  - x + 1\)

Hoành độ giao điểm của \(d\) và đồ thị hàm số là nghiệm của phương trình \( - x +1= \dfrac{{2x + 1}}{{x + 1}} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x =  - 2}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{M(0;1)}\\{M( - 2;3)}\end{array} \Rightarrow a + b = 1} \right.\)

Vậy với cả 2 trường hợp thì giá trị của a+b đều bằng 1.

Ta có : \(y'=4{{x}^{3}}-4x+3.\)

Gọi \(M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\in \left( C \right)\). Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là : \(y=y'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}\)

\(\begin{align}  & \Leftrightarrow y=\left( 4x_{0}^{3}-4{{x}_{0}}+3 \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+x_{0}^{4}-2x_{0}^{2}+3 \\  & \Leftrightarrow y=\left( 4x_{0}^{3}-4{{x}_{0}}+3 \right)x-4x_{0}^{4}+4x_{0}^{2}+3{{x}_{0}}+x_{0}^{4}-2x_{0}^{2}+3 \\  & \Leftrightarrow y=\left( 4x_{0}^{3}-4{{x}_{0}}+3 \right)x-3x_{0}^{4}+2x_{0}^{2}+3{{x}_{0}}+3. \\ \end{align}\)

Tiếp tuyến của đồ thì (C) song song với đường thẳng \(y=3x+2018\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4x_0^3 - 4{x_0} + 3 = 3\\
- 3x_0^4 + 2x_0^2 + 3{x_0} + 3 \ne 2018
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
{x_0} = - 1\\
{x_0} = 0\\
{x_0} = 1
\end{array} \right.\\
- 3x_0^4 + 2x_0^2 + 3{x_0} + 3 \ne 2018
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_0} = - 1\\
{x_0} = 0\\
{x_0} = 1
\end{array} \right.\)

Với \(x = 0\) thì \(y = 1\) suy ra phương trình tiếp tuyến \(y = 3\left( {x - 0} \right) + 1 \Leftrightarrow y = 3x + 1\).

Với \(x = 1\) thì \(y = 3\) suy ra phương trình tiếp tuyến \(y = 3\left( {x - 1} \right) + 3 \Leftrightarrow y = 3x\).

Với \(x =  - 1\) thì \(y =  - 3\) suy ra phương trình tiếp tuyến \(y = 3\left( {x + 1} \right) - 3 \Leftrightarrow y = 3x\).

Hai tiếp tuyến tại các điểm \(\left( {1;3} \right),\left( { - 1; - 3} \right)\) trùng nhau.

Vậy có tất cả \(2\) tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Gọi \(M\left( a;y\left( a \right) \right)\in \left( C \right),\) có \({y}'\left( a \right)=-\frac{8}{{{\left( a-3 \right)}^{2}}}\)\(\Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\) là \(y-y\left( a \right)={y}'\left( a \right)\left( x-a \right)\Leftrightarrow y=-\frac{8}{{{\left( a-3 \right)}^{2}}}\left( x-a \right)+\frac{3a-1}{a-3}\,\,\left( d \right).\)

Vì \(\left( d \right)\) song song với đường thẳng \(y=-\,2x+1\) nên suy ra \(-\frac{8}{{{\left( a-3 \right)}^{2}}}=-\,2\Leftrightarrow {{\left( a-3 \right)}^{2}}=4\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & a=5 \\ & a=1 \\\end{align} \right..\)

Khi đó, phương trình\(\left[ \begin{array}{l}
y = - \,2\left( {x - 5} \right) + 7\\
y = - \,2\left( {x - 1} \right) - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = - \,2x + 17\\
y = - \,2x + 1 \, \, (ktm)
\end{array} \right..\)

Gọi \(M\left( m;y\left( m \right) \right)\) thuộc \(\left( C \right)\)\(\Rightarrow \,\,{y}'\left( m \right)=3{{m}^{2}}-6m+2\) và \(y\left( m \right)={{m}^{3}}-3{{m}^{2}}+2m.\)

Suy ra phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\) là \(y-{{m}^{3}}+3{{m}^{2}}-2m=\left( 3{{m}^{2}}-6m+2 \right)\left( x-m \right).\)

Vì tiếp tuyến \(d\) đi qua \(A\left( -\,1;0 \right)\) suy ra \(-\,{{m}^{3}}+3{{m}^{2}}-2m=\left( 3{{m}^{2}}-6m+2 \right)\left( -\,1-m \right)\Leftrightarrow {{m}^{3}}-3m+1=0.\)

Giải phương trình, tìm được 3 nghiệm \(m\) \(\xrightarrow{{}}\) Có tất cả 3 tiếp tuyến cần tìm.

\(y = 4{x^3} - 6{x^2} + 1 \Rightarrow y' = 12{x^2} - 12x\)

Bước 1: Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị là \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

Bước 2: Phương trình tiếp tuyến tại điểm A có dạng \(y = y'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\)

Có  \({y_0} = 4x_0^3 - 6x_0^2 + 1;\,\,y'\left( {{x_0}} \right) = 12x_0^2 - 12{x_0}\)

Khi đó ta có phương trình tiếp tuyến tại A là: \(y = \left( {12x_0^2 - 12{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + 4x_0^3 - 6x_0^2 + 1\)

Mà tiếp tuyến đi qua điểm M( - 1; - 9)  nên ta có: 

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 9 = \left( {12x_0^2 - 12{x_0}} \right)\left( { - 1 - {x_0}} \right) + 4x_0^3 - 6x_0^2 + 1\\ \Leftrightarrow - 9 = - 12x_0^2 - 12x_0^3 + 12{x_0} + 12x_0^2 + 4x_0^3 - 6x_0^2 + 1\\ \Leftrightarrow 8x_0^3 + 6x_0^2 - 12{x_0} - 10 = 0\\ \Leftrightarrow 4x_0^3 + 3x_0^2 - 6{x_0} - 5 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x_0} + 1} \right)\left( {4x_0^2 - {x_0} - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = - 1\\{x_0} = \frac{5}{4}\end{array} \right..\end{array}\)

Phương trình có 2 nghiệm thực nên có 2 tiếp tuyến đi qua M.

TXĐ: \(D = R\backslash \dfrac{1}{2}\)

Ta có: \(y = \dfrac{{3 - 4x}}{{2x - 1}} \Rightarrow y' = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}\)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho là: \(y = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {2{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \dfrac{{3 - 4{x_0}}}{{2{x_0} - 1}}\)

Tiếp tuyến đi qua M(0 ;1)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{2{x_0}}}{{{{\left( {2{x_0} - 1} \right)}^2}}} + \frac{{3 - 4{x_0}}}{{2{x_0} - 1}} = 1 \Leftrightarrow 2{x_0} + \left( {3 - 4{x_0}} \right)\left( {2{x_0} - 1} \right) = {\left( {2{x_0} - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 2{x_0} - 8x_0^2 + 10{x_0} - 3 = 4x_0^2 - 4{x_0} + 1 \Leftrightarrow 12x_0^2 - 16{x_0} + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{x_0} = \frac{1}{3}\end{array} \right.\end{array}\)

Nhận  thấy phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt nên có 2 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài

Ta có \({y}'=\frac{3}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}},\,\left( x\ne -2 \right)\).

Hoành độ tiếp điểm \(M\) là nghiệm của phương trình \(\frac{x-1}{x+2}=0\) \(\Leftrightarrow x=1\) \(\Rightarrow M\left( 1;0 \right)\).

Phương trình tiếp tuyến tại \(M\) có dạng  \(y={y}'\left( 1 \right)\left( x-1 \right)+0\Leftrightarrow y=\frac{1}{3}\left( x-1 \right)\Leftrightarrow y=\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}\).

Ta có: \(y'={{x}^{2}}+2x\Rightarrow y''=2x+2\Rightarrow y''=0\Leftrightarrow 2x+2=0\Leftrightarrow x=-1.\)

Với \(x=-1\) ta có: \(y\left( -1 \right)=-\frac{4}{3}\Rightarrow M\left( -1;-\frac{4}{3} \right).\)

Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M là:

\(y=y'\left( -1 \right)\left( x+1 \right)-\frac{4}{3}=-\left( x+1 \right)-\frac{4}{3}=-x-\frac{7}{3}.\)

Có \(y' = 2x-1\)

\(M\left( {1;-2} \right)\) thuộc đồ thị hàm số và có hoành độ \(x = 1\)

Tiếp tuyến với đồ thị hàm số có hệ số góc \(k = y'\left( 1 \right) = 1\) và có phương trình là \(y = 1.\left( {x-1} \right)-2 \Leftrightarrow y = x-3\)