Cho hàm số \(y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+3x+1\) có đồ thị \(\left( C \right).\) Có tất cả bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) song song với đường thẳng \(y=3x+2018\) ?

Ta có : \(y'=4{{x}^{3}}-4x+3.\)

Gọi \(M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\in \left( C \right)\). Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là : \(y=y'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}\)

\(\begin{align}  & \Leftrightarrow y=\left( 4x_{0}^{3}-4{{x}_{0}}+3 \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+x_{0}^{4}-2x_{0}^{2}+3 \\  & \Leftrightarrow y=\left( 4x_{0}^{3}-4{{x}_{0}}+3 \right)x-4x_{0}^{4}+4x_{0}^{2}+3{{x}_{0}}+x_{0}^{4}-2x_{0}^{2}+3 \\  & \Leftrightarrow y=\left( 4x_{0}^{3}-4{{x}_{0}}+3 \right)x-3x_{0}^{4}+2x_{0}^{2}+3{{x}_{0}}+3. \\ \end{align}\)

Tiếp tuyến của đồ thì (C) song song với đường thẳng \(y=3x+2018\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4x_0^3 - 4{x_0} + 3 = 3\\
- 3x_0^4 + 2x_0^2 + 3{x_0} + 3 \ne 2018
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
{x_0} = - 1\\
{x_0} = 0\\
{x_0} = 1
\end{array} \right.\\
- 3x_0^4 + 2x_0^2 + 3{x_0} + 3 \ne 2018
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_0} = - 1\\
{x_0} = 0\\
{x_0} = 1
\end{array} \right.\)

Với \(x = 0\) thì \(y = 1\) suy ra phương trình tiếp tuyến \(y = 3\left( {x - 0} \right) + 1 \Leftrightarrow y = 3x + 1\).

Với \(x = 1\) thì \(y = 3\) suy ra phương trình tiếp tuyến \(y = 3\left( {x - 1} \right) + 3 \Leftrightarrow y = 3x\).

Với \(x =  - 1\) thì \(y =  - 3\) suy ra phương trình tiếp tuyến \(y = 3\left( {x + 1} \right) - 3 \Leftrightarrow y = 3x\).

Hai tiếp tuyến tại các điểm \(\left( {1;3} \right),\left( { - 1; - 3} \right)\) trùng nhau.

Vậy có tất cả \(2\) tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán.