Cho hàm số \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4\)có đồ thị (C). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của k để đường thẳng \(y=k(x-2)\)cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt \(M(2;0),\,N,\,P\)sao cho các tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau. Tính tổng tất cả các phần tử của S.

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(y=k(x-2)\) và (C) là:

\(\begin{array}{l}{x^3} - 3{x^2} + 4 = k(x - 2)\\ \Leftrightarrow (x - 2)({x^2} - x - 2) - k(x - 2) = 0\\ \Leftrightarrow (x - 2)\left[ {{x^2} - x -2- k} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\{x^2} - x -2- k = 0\,\,\,(*)\end{array} \right.\end{array}\)

*) \(x=2\Rightarrow y=0\Rightarrow M(2;0)\)

*) \({{x}^{2}}-x-2-k=0\)

Để (C) cắt d tại 3 điểm phân biệt M, N, P thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 2

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta = 1 + 4\left( {2 + k} \right) > 0\\
{2^2} - 2 - 2 - k \ne 0
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
9 + 4k > 0\\
k \ne 0
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k > - \frac{9}{4}\\
k \ne 0
\end{array} \right.\)

Gọi \({{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}\) lần lượt là hoành độ của điểm N, P. Theo Vi – et, ta có: \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}=1,\,\,{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-2-k\)

Ta có: \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4\Rightarrow y'=3{{x}^{2}}-6x\)

Tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau \(\Leftrightarrow y'({{x}_{1}}).y'({{x}_{2}})=-1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {3{x_1}^2 - 6{x_1}} \right)\left( {3{x_2}^2 - 6{x_2}} \right) =  - 1 \\\Leftrightarrow {\left( {3{x_1}{x_2}} \right)^2} - 18{x_1}{x_2}({x_1} + {x_2}) + 36{x_1}{x_2} + 1 = 0\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {\left[ {3\left( { - k - 2} \right)} \right]^2} - 18\left( { - k - 2} \right).1 + 36\left( { - k - 2} \right) + 1 = 0\\
\Leftrightarrow {\rm{9}}{\left( {k + 2} \right)^2} + 18\left( {k + 2} \right) - 36\left( {k + 2} \right) + 1 = 0\\
\Leftrightarrow {\rm{9}}{\left( {k + 2} \right)^2} - 18\left( {k + 2} \right) + 1 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
k + 2 = \frac{{9 - 6\sqrt 2 }}{9}\\
k + 2 = \frac{{9 + 6\sqrt 2 }}{9}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
k = - 2 + \frac{{9 - 6\sqrt 2 }}{9}\\
k = - 2 + \frac{{9 + 6\sqrt 2 }}{9}
\end{array} \right.\left( {TM} \right)
\end{array}\)

Vậy tổng các phần tử của S là: \( - 2 + \frac{{9 - 6\sqrt 2 }}{9} - 2 + \frac{{9 + 6\sqrt 2 }}{9} = - 2\)