Cho hàm số \(y=-\frac{x}{2x+1}\) có đồ thị là \(\left( C \right).\) Tìm \(m\) sao cho đường thẳng \(y=x+m\) cắt \(\left( C \right)\) tại 2 điểm phân biệt \(A,\,\,B\) và tổng các hệ số góc của các tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) tại \(A,\,\,B\) lớn nhất.

Điều kiện : \(x\ne -\frac{1}{2}.\)

Ta có : \(y=-\frac{x}{2x+1}\Rightarrow y'=-\frac{1}{{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}.\)

Hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(\left( d \right)\) là nghiệm phương trình: \(-\frac{x}{2x+1}=x+m\)

\(\begin{align}  & \Leftrightarrow \left( 2x+1 \right)\left( x+m \right)+x=0 \\ & \Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+2\left( m+1 \right)x+m=0\ \ \ \left( * \right) \\\end{align}\)  

Có \({\Delta }'={{\left( m+1 \right)}^{2}}-2m={{m}^{2}}+1>0,\,\,\forall m\) suy ra \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( C \right)\) tại 2 điểm phân biệt.

Gọi \(A\left( {{x}_{1}};\ {{y}_{1}} \right)\) và \(B\left( {{x}_{2}};\ {{y}_{2}} \right)\) là hai giao điểm của hai đồ thị  \(\Rightarrow {{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}\) là nghiệm của \(\left( * \right).\)

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có : \(\left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\left( m+1 \right) \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{m}{2} \\\end{align} \right..\)

Khi đó tổng các hệ số góc của các tiếp tuyến tại A và B là :

 \(\begin{align}  & {{k}_{1}}+{{k}_{2}}=-\frac{1}{{{\left( 2{{x}_{1}}+1 \right)}^{2}}}-\frac{1}{{{\left( 2{{x}_{2}}+1 \right)}^{2}}}=-\frac{\left( {{\left( 2{{x}_{1}}+1 \right)}^{2}}+{{\left( 2{{x}_{2}}+1 \right)}^{2}} \right)}{{{\left( 4{{x}_{1}}{{x}_{1}}+2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+1 \right)}^{2}}} \\ & =-\frac{4\left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right)+4\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+2}{{{\left( 4{{x}_{1}}{{x}_{1}}+2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+1 \right)}^{2}}}=-\frac{4{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-8{{x}_{1}}{{x}_{2}}+4\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+2}{{{\left( 4{{x}_{1}}{{x}_{1}}+2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+1 \right)}^{2}}} \\ & =\frac{4{{\left( m+1 \right)}^{2}}-8.\frac{m}{2}-4\left( m+1 \right)+2}{{{\left( 4.\frac{m}{2}-2\left( m+1 \right)+1 \right)}^{2}}}=\frac{4{{m}^{2}}+8m+4-4m-4m-4+2}{{{\left( 2m-2m-2+1 \right)}^{2}}} \\ & =-\left( 4{{m}^{2}}+2 \right)=-\,4{{m}^{2}}-2. \\\end{align}\)

Khi đó \({{k}_{1}}+{{k}_{2}}=-\,4{{m}^{2}}-2\le -\,2\) vì \({{m}^{2}}\ge 0.\) Vậy \({{\left\{ {{k}_{1}}+{{k}_{2}} \right\}}_{\max }}\Leftrightarrow m=0.\)