Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng d: \(\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{z}{{ - 2}}\) và điểm \(A\left( {3;1; - 1} \right)\). Gọi \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng đi qua \(A\) và chứa đường thẳng \(d\). Điểm nào dưới đây thuộc \(\left( \alpha  \right)\)?

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {3;0;0} \right)\), \(B\left( {0; - 6;0} \right)\), \(C\left( {0;0;6} \right)\) và mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):x + y + z - 4 = 0\). Tọa độ hình chiếu vuông góc của trọng tâm tam giác \(ABC\) lên mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$, cho hai đường thẳng \({\ell _1}:x - 1 = \dfrac{{y + 2}}{2} =  - z\) và \({\ell _2}:\dfrac{{x - 3}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 1}}{2}\). Gọi \((Q)\) là mặt phẳng chứa \({\ell _1}\) và tạo với \({\ell _2}\) một góc lớn nhất là \(\alpha \). Khi đó \(\cos \alpha \) bằng

Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\dfrac{x}{{ - 1}} = \dfrac{{y + 1}}{2} = \dfrac{{z - 2}}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình \(2x - y - 2z + 4 = 0\). Mặt phẳng chứa đường thẳng \(d\) và tạo với mặt phẳng \(\left( P \right)\) góc với số đo nhỏ nhất có phương trình là:

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 3y - z - 7 = 0\) và điểm \(A\left( {3;5;0} \right)\). Gọi \(A'\) là điểm đối xứng của \(A\) qua mặt phẳng \(\left( P \right)\). Điểm \(A'\) có tọa độ là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm $A(1;2; - 3)$và đường thẳng $d:\dfrac{{x - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{z}{3}$. Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng (d) là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ${\Delta _1}:\dfrac{{x - 2}}{1} = \dfrac{{y + 1}}{2} = \dfrac{{z - 1}}{{ - {\mkern 1mu} 3}}$ và ${\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\{\rm{ \;}}y = 2 - t\\{\rm{ \;}}z = 1 + 2t\end{array} \right.$. Phương trình mặt phẳng $\left( {\alpha {\rm{\;}}} \right)$ song song với hai đường thẳng ${\Delta _1},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\Delta _2}$ và cách điểm \(I\left( {1; - 1;3} \right)\) một khoảng bằng $\dfrac{{\sqrt {35} }}{5}$ là

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{9}{5} - t\\y = 5t\\z = \dfrac{7}{5} + 3t\end{array} \right.\) và mặt phẳng \(\left( P \right):3x - 2y + 3z - 1 = 0\).

Gọi \(d'\) là hình chiếu của \(d\) trên mặt phẳng \(\left( P \right)\). Trong các vectơ sau, vectơ nào không phải là vectơ chỉ phương của \(d'\)?