Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm $A(1;2;1)$và đường thẳng $(d):\dfrac{x}{3} = \dfrac{{y - 1}}{4} = z + 3$. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và chứa đường thẳng d
Trả lời bởi giáo viên
Chọn $B(0;1; - 3) \in d$, suy ra \(B \in (P)\)
Ta có:$\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_d}} = \left( {3;4;1} \right)\\\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 1; - 4} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow {AB} } \right] = ( - 15;11;1)$
Vì (P) chứa đường thẳng d và đi qua A, B $ \Rightarrow \overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {AB} } \right]$ $ = ( - 15;11;1)$
Ta có:
\((P):\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_P}} = ( - 15;11;1)\\A(1;2;1) \in (P)\end{array} \right. \) \(\Rightarrow (P): - 15(x - 1) + 11(y - 2) + (z - 1) = 0 \) \(\Leftrightarrow - 15x + 11y + z - 8 = 0\)
Hướng dẫn giải:
- Vì (P) chứa đường thẳng d nên lấy $B \in d$, ta có \(B \in (P)\)
- (P) chứa đường thẳng d và đi qua A, B $ \Rightarrow \overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {AB} } \right]$
- Phương trình mặt phẳng (P) qua \(M({x_0};{y_0};{z_0})\) và có vecto $\overrightarrow n = (a;b;c)$ có dạng:$a.(x - {x_0}) + b.(y - {y_0}) + c(z - {z_0}) = 0$