Các khí thải gây hiệu ứng nhà kính là nguyên nhân chủ yếu làm trái đất nóng lên. Theo OECD (Tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế thế giới), khi nhiệt độ trái đất tăng lên thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm. Người ta ước tính rằng khi nhiệt độ trái đất tăng thêm $2^\circ C$ thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm $3\% ,$ còn khi nhiệt độ trái đất tăng thêm $5^\circ C$ thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm $10\% $. Biết rằng nếu nhiệt độ trái đất tăng thêm $t^\circ C$, tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm \(f\left( t \right) = k.{a^t}\) (trong đó \(a,{\rm{ }}k\) là các hằng số dương). Nhiệt độ trái đất tăng thêm bao nhiêu độ \(C\) thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm $20\% $?
Theo đề bài, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}k.{a^2} = 3\% \\k.{a^5} = 10\% \end{array} \right.{\rm{ }}\left( 1 \right)\).
Cần tìm \(t\) thỏa mãn \(k.{a^t} = 20\% \).
Từ \(\left( 1 \right) \Rightarrow k = \dfrac{{3\% }}{{{a^2}}}\) và \(a = \sqrt[3]{{\dfrac{{10}}{3}}}\).
Khi đó \(k.{a^t} = 20\% \Rightarrow \dfrac{{3\% }}{{{a^2}}}.{a^t} = 20\% \) \( \Leftrightarrow {a^{t - 2}} = \dfrac{{20}}{3}\) \( \Rightarrow t = 2 + {\log _{\sqrt[3]{{\dfrac{{10}}{3}}}}}\dfrac{{20}}{3} \approx 6,7\)
Giá trị của \(x\) thỏa mãn \(\ln x = 0\) là:
Ta có: \(\ln x = 0 \Leftrightarrow x = {e^{ 0}} = 1\)
Chọn mệnh đề đúng:
Ta có: \(\ln \left( {ab} \right) = \ln a + \ln b\) nên A sai.
\(\ln \left( {\dfrac{a}{b}} \right) = \ln a - \ln b\) nên B sai.
\(\ln {a^n} = n\ln a\left( {a > 0} \right)\) nên C đúng.
\(\ln e = 1\) nên D sai.
Cho các số thực \(a < b < 0\). Mệnh đề nào sau đây sai?
Do $a < b < 0$ nên đáp án B viết $\ln a, \ln b$ là sai.
Cho các số thực dương $ a, b, x, y $ với \(a \ne 1\), \(b \ne 1\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A: \({\log _a}b.{\log _b}a = {\log _a}b.\dfrac{1}{{{{\log }_a}b}} = 1 \Rightarrow \) A đúng
B: \(\ln \dfrac{x}{{\sqrt y }} = \ln x - \ln \sqrt y = \ln x - \ln {y^{\dfrac{1}{2}}} = \ln x - \dfrac{1}{2}\ln y \Rightarrow \)B đúng
C: \({\log _a}x + {\log _{\sqrt[3]{a}}}y = {\log _a}x + {\log _{{a^{\frac{1}{3}}}}}y = {\log _a}x + 3{\log _a}y = {\log _a}x + {\log _a}{y^3} = {\log _a}x{y^3} \Rightarrow \) C đúng
D:\({\log _a}x + {\log _a}y = {\log _a}(xy) \Rightarrow \) D sai
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
\({e^{\ln 2}} + \ln ({e^2}.\sqrt[3]{e}) = 2 + \ln {e^{\dfrac{7}{3}}} = 2 + \dfrac{7}{3} = \dfrac{{13}}{3}\)
Cho các số dương $a, b, c, d$. Biểu thức $S = \ln \dfrac{a}{b}+ \ln \dfrac{b}{c} + \ln \dfrac{c}{d}+\ln \dfrac{d}{a}$ bằng:
$S = \ln \dfrac{a}{b} + \ln \dfrac{b}{c} + \ln \dfrac{c}{d} + \ln \dfrac{d}{a} = \ln \left( {\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{c}.\dfrac{c}{d}.\dfrac{d}{a}} \right) = \ln 1 = 0$
Cho biểu thức \(P = \,{(\ln a\, + {\log _a}e)^2}\, + {\ln ^2}a - \log _a^2e\), với \(a\) là số dương khác $1$. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
\(\begin{array}{l}P = {\left( {\ln a + {{\log }_a}e} \right)^2} + {\ln ^2}a - \log _a^2e = {\ln ^2}a + 2.\ln a.{\log _a}e + \log _a^2e + {\ln ^2}a - \log _a^2e\\ = 2.{\ln ^2}a + 2.\ln a.\dfrac{{\ln e}}{{\ln a}} = 2{\ln ^2}a + 2\end{array}\)
Khẳng định nào sau đây là sai ?
A: \({\log _3}x < 0 \Leftrightarrow 0 < x < 1 \Rightarrow \) A đúng
B: \({\log _{\dfrac{1}{3}}}a > {\log _{\dfrac{1}{3}}}b \Leftrightarrow 0 < a < b \Rightarrow \)B đúng
C: $\ln x > 0 $ ⟺ $x >1 $ ⇒ C đúng
D: \({\log _{\dfrac{1}{2}}}a > {\log _{\dfrac{1}{2}}}b \Leftrightarrow b > a > 0\)⇒ D sai
Xét $a$ và $b$ là hai số thực dương tùy ý. Đặt \(x = \ln {({a^2} - ab + {b^2})^{1000}},\) \(y = 1000\ln a - \ln \dfrac{1}{{{b^{1000}}}}\). Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
Ta có $x = \ln {\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)^{1000}} = 1000\ln \left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)$
$y = 1000\ln a - \ln \dfrac{1}{{{b^{1000}}}} = 1000\ln a + 1000\ln b = 1000\ln ab$
Ta có ${a^2} - {\rm{a}}b + {b^2} \ge ab$ nên $\ln \left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) \ge \ln ab \Leftrightarrow 1000\ln \left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) \ge 1000\ln ab \Leftrightarrow x \ge y$
Cho các phát biểu sau:
(I). Nếu \(C = \sqrt {AB} \) thì \(2\ln C = \ln A + \ln B\) với $A, B$ là các biểu thức luôn nhận giá trị dương.
(II). \(\left( {a - 1} \right){\log _a}x \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\) với \(a > 0,a \ne 1\)
(III). \({m^{{{\log }_a}m}} = {n^{{{\log }_a}n}},\) với \(m,n > 0\) và \(a > 0,a \ne 1\)
(IV).\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\log _{\frac{1}{2}}}x = - \infty \)
Số phát biểu đúng là
Ta có ${C^2} = AB \Rightarrow {{\mathop{\rm lnC}\nolimits} ^2} = {\mathop{\rm \ln (AB)}\nolimits} \Rightarrow 2\ln C = \ln A + \ln B$ nên I đúng
Ta có $\left( {a - 1} \right){\log _a}x \ge 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a - 1 > 0}\\{{{\log }_a}x \ge 0}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a - 1 < 0}\\{{{\log }_a}x \le 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. $ $\Leftrightarrow x\ge 1$ suy ra II đúng.
Logarit cơ số $m$ hai vế ta được ${\log _a}m.{\log _m}m \ne {\log _a}n.{\log _m}n$ suy ra III sai
Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\log _{\frac{1}{2}}}x = - \infty $ đúng nên IV đúng.
Vậy có \(3\) phát biểu đúng.
Cho \(\ln x = 2\). Tính giá trị của biểu thức \(T = 2\ln \sqrt {ex} - \ln \dfrac{{{e^2}}}{{\sqrt x }} + \ln 3.{\log _3}e{x^2}\) ?
Ta có
$\begin{array}{l}T = 2\ln \sqrt {ex} - \ln \dfrac{{{e^2}}}{{\sqrt x }} + \ln 3.{\log _3}e{x^2}\\ = 2\ln \left( {{e^{\dfrac{1}{2}}}.{x^{\dfrac{1}{2}}}} \right) - \left( {\ln {e^2} - \ln {x^{\dfrac{1}{2}}}} \right) + \ln 3.\dfrac{{\ln \left( {e.{x^2}} \right)}}{{\ln 3}}\\ = 2\left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\ln x} \right) - \left( {2 - \dfrac{1}{2}\ln x} \right) + \ln e + 2\ln x\\ = 2\left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}.2} \right) - \left( {2 - \dfrac{1}{2}.2} \right) + 1 + 2.2 = 7\end{array}$
Cho $\log x = a$ và $\ln 10 = b$ . Tính \({\log _{10e}}x\) theo $a$ và $b$
Ta có: \({\log _{10e}}x = \dfrac{1}{{{{\log }_x}10e}} = \dfrac{1}{{{{\log }_x}e + {{\log }_x}10}} = \dfrac{1}{{\dfrac{{\ln e}}{{\ln x}} + \dfrac{{\ln 10}}{{\ln x}}}} = \dfrac{{\ln x}}{{1 + \ln 10}} = \dfrac{{\ln 10.\log x}}{{1 + \ln 10}}\)
Suy ra \({\log _{10e}}x = \dfrac{{ab}}{{1 + b}}\).
Công thức nào sau đây là công thức tăng trưởng mũ?
Công thức lãi kép (hoặc công thức tăng trưởng mũ):
\(T = A.{e^{Nr}}\), ở đó \(A\) là số tiền gửi ban đầu, \(r\) là lãi suất, \(N\) là số kì hạn.
Một quần thể sinh vật tại thời điểm hiện tại có \(T\) (con), biết quần thể đó có tỉ lệ tăng trưởng \(r\) theo năm, hỏi số sinh vật trong quần thể từ \(2\) năm trước là bao nhiêu?
Từ công thức tăng trưởng mũ: \(T = A.{e^{Nr}}\) với \(N = 2\) ta được:\(A = \dfrac{T}{{{e^{2r}}}} = T{e^{ - 2r}}\).
Sự tăng trưởng của 1 loài vi khuẩn được tính theo công thức $S = A.{e^{rt}}$ , trong đó $A$ là số lượng vi khuẩn ban đầu, $r$ là tỉ lệ tăng trưởng $(r>0)$, $t$ là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu là $150$ con và sau $5$ giờ có $450$ con, tìm số lượng vi khuẩn sau 10 giờ tăng trưởng.
Ta có: $450 = 150.{e^{5r}}$
$ = > {e^{5r}} = 3 \Leftrightarrow 5r = \ln 3 = > r = \dfrac{{\ln 3}}{5}$
Số lượng vi khuẩn sau 10 giờ tăng trưởng là:
$S = 150.{e^{10.\dfrac{{\ln 3}}{5}}} = 150.{\left( {{e^{\ln 3}}} \right)^2} = {150.3^2} = 1350$(con)
Khi ánh sáng đi qua một môi trường ( chẳng hạn như không khí, nước , sương mù…), cường độ sẽ giảm dần theo quãng đường truyền \(x\), theo công thức \(I(x) = {I_0}{e^{ - \mu x}}\), trong đó \({I_0}\) là cường độ của ánh sáng khi bắt đầu truyền vào môi trường và \(\mu \) là hệ số hấp thu của môi trường đó . Biết rằng nước biển có hệ số hấp thu \(\mu =1,4 \), và người ta tính được rằng khi đi từ độ sâu $2m$ xuống đến độ sâu $20m$ thì cường độ ánh sáng giảm \(l{.10^{10}}\)lần. Số nguyên nào sau đây gần với $l$ nhất ?
Theo đầu bài ta có : \(I(20) = \dfrac{{I(2)}}{{l{{.10}^{10}}}}\) \( \Leftrightarrow {I_0}.{e^{ - 1,4.20}}.l{.10^{10}} = {I_0}.{e^{ - 1,4.2}} \) \(\Rightarrow l \approx 9\)
Một điện thoại đang nạp pin, dung lượng pin nạp được tính theo công thức \(Q\left( t \right) = {Q_0}.\left( {1 - {e^{ - t\sqrt 2 }}} \right)\) với $t$ là khoảng thời gian tính bằng giờ và \({Q_0}\) là dung lượng nạp tối đa ( pin đầy ). Hãy tính thời gian nạp pin của điện thoại tính từ lúc cạn hết pin cho đến khi điện thoại đạt được $90 \%$ dung lượng pin tối đa ( kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm).
Theo đầu bài ta có \(Q\left( t \right) = \dfrac{9}{{10}}{Q_0}\) nên theo công thức ta có : \(\dfrac{9}{{10}}.{Q_0} = {Q_0}.\left( {1 - {e^{ - t\sqrt 2 }}} \right) \) \(\Leftrightarrow 1 - {e^{ - t\sqrt 2 }} = \dfrac{9}{{10}} \) \(\Leftrightarrow t \approx 1,63\)
Cho a,b là các số dương thỏa mãn \({a^2} + 4{b^2} = 12ab\) . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
\(\begin{array}{l}{a^2} + 4{b^2} = 12ab \Leftrightarrow {\left( {a + 2b} \right)^2} - 4ab = 12ab \Leftrightarrow {\left( {a + 2b} \right)^2} = 16ab\\ \Rightarrow \ln {\left( {a + 2b} \right)^2} = \ln \left( {16ab} \right)\\ \Rightarrow 2\ln \left( {a + 2b} \right) = \ln 16 + \ln a + \ln b\\ \Rightarrow 2\ln \left( {a + 2b} \right) - 4\ln 2 = \ln a + \ln b\\ \Rightarrow \ln \left( {a + 2b} \right) - 2\ln 2 = \dfrac{1}{2}(\ln a + \ln b)\end{array}\)
Cho \(a > 0,\,\,b > 0\) và \(\ln \dfrac{{a + b}}{3} = \dfrac{{2\ln a + \ln b}}{3}\). Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\ln \dfrac{{a + b}}{3} = \dfrac{{2\ln a + \ln b}}{3}\\ \Leftrightarrow 3\ln \dfrac{{a + b}}{3} = 2\ln a + \ln b\\ \Leftrightarrow \ln {\left( {\dfrac{{a + b}}{3}} \right)^3} = \ln {a^2} + \ln b\\ \Leftrightarrow \ln \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^3}}}{{27}} = \ln \left( {{a^2}b} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^3}}}{{27}} = {a^2}b\\ \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^3} = 27{a^2}b\\ \Leftrightarrow {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3} = 27{a^2}b\\ \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} = 24{a^2}b - 3a{b^2}\\ \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} = 3\left( {8{a^2}b - a{b^2}} \right)\end{array}\)
