Cho $x;y$ là các số thực dương thỏa mãn $\ln x + \ln y \ge \ln \left( {{x^2} + y} \right)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=x+y$.
Bất đẳng thức đã cho tương đương với $xy \ge {x^2} + y \Leftrightarrow y\left( {x-1} \right) \ge {x^2} \Rightarrow x > 1$
Do đó
$\begin{array}{l}y \ge \dfrac{{{x^2}}}{{x - 1}} \Rightarrow x + y \ge \dfrac{{{x^2}}}{{x - 1}} + x = \dfrac{{2{x^2} - x}}{{x - 1}} = \dfrac{{2{x^2} - 2x + x - 1 + 1}}{{x - 1}}\\ = 2x + 1 + \dfrac{1}{{x - 1}} = 2\left( {x - 1} \right) + \dfrac{1}{{x - 1}} + 3 \ge 2\sqrt {2\left( {x - 1} \right).\dfrac{1}{{x - 1}}} + 3\\ = 2\sqrt 2 + 3\end{array}$
Dấu “=” xảy ra khi \(2\left( {x - 1} \right) = \dfrac{1}{{x - 1}} \Leftrightarrow 2{\left( {x - 1} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow x = 1 + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\).
