Câu hỏi:
2 năm trước
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103
Cắt hình nón \(\left( \aleph \right)\) bởi mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với mặt phẳng chứa đáy một góc bằng \({30^0}\), ta được thiết diện là tam giác đều cạnh \(4a\). Diện tích xung quanh của \(\left( \aleph \right)\) bằng:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
+ \({S_{xq}} = \pi Rl \Rightarrow \) Cần tìm \(R,\,\,l\).
+ Thiết diện là \(\Delta SMN\) đều cạnh \(4a\) \( \Rightarrow l = SM = SN = 4a\).
+ \(\angle \left( {\left( {SMN} \right);\left( {day} \right)} \right) = \angle SHO = {30^0}\).
Mà \(SH = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {canh\,\,\Delta SMN} \right) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.4a = 2a\sqrt 3 \).
\( \Rightarrow SO = SH.\sin \angle SHO = 2\sqrt 3 a.\sin {30^0} = \sqrt 3 a\).
\( \Rightarrow OM = \sqrt {S{M^2} - S{O^2}} = \sqrt {{{\left( {4a} \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 3 a} \right)}^2}} = a\sqrt {13} \).
\( \Rightarrow R = OM = a\sqrt {13} \).
Vậy \({S_{xq}} = \pi Rl = \pi .a\sqrt {13} .4a = 4\sqrt {13} \pi {a^2}\).
Hướng dẫn giải:
- Dựa vào giả thiết thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với mặt phẳng chứa đáy một góc bằng \({30^0}\) là tam giác đều cạnh \(4a\) tìm độ dài đường sinh của hình nón.
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính chiều cao và bán kính đáy của hình nón.
- Diện tích xung quanh của hình nón có độ dài đường sinh \(l\) và bán kính đáy \(R\) là \({S_{xq}} = \pi Rl\).
