Khối đa diện đều. Phép vị tự

Phép vị tự tỉ số \(k \ne  \pm 1\) làm thay đổi độ dài đoạn thẳng nên nó không phải phép dời hình nên A sai.

Phép vị tự tỉ số $k=-1$ là phép đối xứng tâm nên nó là phép dời hình, B sai.

Không có phép vị tự tỉ số \(k = 0\) nên D sai.

Phép vị tự tỉ số \(k = 1\) là phép đồng nhất nên nó là phép dời hình.

Phép vị tự tỉ số \(k =  - 1\) là phép đối xứng tâm.

Hai hình đồng dạng thì chưa chắc bằng nhau nên A sai.

Hai hình bằng nhau thì đồng dạng nên B đúng, D sai.

Hai hình đồng dạng sẽ trùng nhau nếu phép đồng dạng là phép đồng nhất nên C sai.

Ta có: \(A'A = 2SA',B'B = 2SB',C'C = 2SC' \)

$\Rightarrow \overrightarrow {SA'} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SB'} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC'} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {SC} $

Do đó phép vị tự tâm \(S\) tỉ số \(k = \dfrac{1}{3}\) biến các điểm \(A,B,C\) thành \(A',B',C'\).

Các hình tứ diện đều, lập phương, bát diện đều là các khối đa diện đều nên chúng là đa diện lồi.

Hình tạo bởi hai tứ diện đều ghép với nhau có thể là đa diện lồi hoặc không phải là đa diện lồi

⇒ Mệnh đề “Hình tạo bởi hai tứ diện đều ghép với nhau là đa diện lồi” là mệnh đề sai

Khối mười hai mặt đều thuộc loại \(\left\{ {5;3} \right\}\).

Chỉ có $5$ loại khối đa diện đều là tứ diện đều, khối lập phương, khối bát diện đều, khối $12$ mặt đều và khối $20$ mặt đều.

- Khối đa diện đều loại \(\left\{ {n;p} \right\}\):

+ \(n\) là số cạnh của mỗi mặt.

+ \(p\) là số cạnh cùng đi qua một đỉnh.

Vì số đỉnh mỗi mặt bằng số cạnh mỗi mặt nên \(n\) cũng số đỉnh mỗi mặt.

Có \(5\) khối đa diện, đó các loại \(\left\{ {3;3} \right\},\left\{ {4;3} \right\},\left\{ {3;4} \right\},\left\{ {5;3} \right\},\left\{ {3;5} \right\}\)

Vậy kí hiệu \(\left\{ {4;4} \right\}\) không phải kí hiệu của khối đa diện đều nào cả.

Khối đa diện $20$ mặt đều thuộc loại \(\left\{ {3;5} \right\}\) nên mỗi mặt có $3$ cạnh

Mỗi cạnh là cạnh chung của $2$ mặt nên tổng số cạnh của đa diện là $20.3:2 = 30$  (cạnh)

Quan sát hình vẽ ta thấy nó có \(12\) mặt và mỗi mặt là một ngũ giác đều.

Vậy hình vẽ trên là hình trải phẳng của khối mười hai mặt đều.

Đa diện đều có tất cả các mặt là các đa giác bằng nhau.

Không tồn tại đa diện đều có $5$ và $6$  đỉnh, do đó chóp $S.ABCD$ và lăng trụ $ABC.A'B'C'$ không thể là đa diện đều.

Nếu mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng $3$  mặt thì nó cũng là đỉnh chung của đúng $3$  cạnh. Giả sử số đỉnh của đa diện là $n$ thì số cạnh của nó phải là $\dfrac{{3n}}{2}$  (vì mỗi cạnh được tính $2$  lần), do đó $n$ chẵn.

Bát diện đều có $8$ mặt là các tam giác đều.

Nhị thập diện đều có $20$ mặt là các tam giác đều.

Tứ diện đều có $4$  mặt là các tam giác đều.

Thập nhị diện đều có $12$ mặt là các ngũ giác đều.

Hình đa diện đều có tất cả các mặt là ngũ giác là khối mười hai mặt đều thuộc loại \(\left\{ {5;3} \right\}\) và có $30$ cạnh

Khối đa diện lồi có \(D\) đỉnh, \(M\) mặt và \(N\) cạnh thì \(D - C + M = 2\).

Ta có: \(D = 6,M = 8\) thì \(D - C + M = 2 \Leftrightarrow 6 - C + 8 = 2 \Leftrightarrow C = 12\)

Vậy số cạnh là \(12\).

Nối các đường chéo của các mặt ta được 2 tứ diện đều không có đỉnh nào chung.

Mỗi tứ diện đều có 4 tmặt là 4 tam giác đều. Nên tổng cộng có 8 tam giác đều.

Khối đa diện đều loại \(\left\{ {4;3} \right\}\) là hình lập phương. Khối lập phương có 6 mặt là hình vuông cạnh a.

Diện tích một mặt là \({a^2}\).

Vậy tổng diện tích các mặt của hình lập phương đó là: \(S = 6{a^2}\).

Khối đa diện đều loại \(\left\{ {3;4} \right\}\) là bát diện đều. Khối bát diện đều có 12 cạnh.

Hình 12 mặt đều có số đỉnh là hai mươi.