Cho \(a\) là số thực dương khác 1 và \(b > 0\) thỏa mãn \({\log _a}b = \sqrt 3 \). Tính \(A = {\log _{{a^2}b}}\dfrac{a}{{{b^2}}}\) bằng

Ta có:

\(\begin{array}{l}A = {\log _{{a^2}b}}\dfrac{a}{{{b^2}}} = {\log _{{a^2}b}}a - {\log _{{a^2}b}}{b^2}\\ = \dfrac{1}{{{{\log }_a}\left( {{a^2}b} \right)}} - 2{\log _{{a^2}b}}b\\ = \dfrac{1}{{{{\log }_a}\left( {{a^2}b} \right)}} - \dfrac{2}{{{{\log }_b}\left( {{a^2}b} \right)}}\\ = \dfrac{1}{{{{\log }_a}{a^2} + {{\log }_a}b}} - \dfrac{2}{{{{\log }_b}{a^2} + {{\log }_b}b}}\\ = \dfrac{1}{{2 + {{\log }_a}b}} - \dfrac{2}{{2{{\log }_b}a + 1}}\end{array}\)

Mà \({\log _a}b = \sqrt 3  \Rightarrow {\log _b}a = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\).

Thay \({\log _a}b = \sqrt 3 ,{\log _b}a = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\) vào A ta được:

\(\begin{array}{l}A = \dfrac{1}{{2 + \sqrt 3 }} - \dfrac{1}{{2.\dfrac{1}{{\sqrt 3 }} + 1}}\\ = 8 - 5\sqrt 3 \end{array}\)