Câu hỏi:
2 năm trước
Gọi ${z_1}$ và ${z_2}$ là hai nghiệm phức của phương trình ${z^2} + z + 1 = 0$. Tính giá trị của $P = {z_1}^{2017} + {z_2}^{2017}$
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Phương trình ${z^2} + z + 1 = 0$ có $\Delta = 1-4 = -3$ nên có $2$ nghiệm ${z_1} = \dfrac{{ - 1 + i\sqrt 3 }}{2};{z_2} = \dfrac{{ - 1 - i\sqrt 3 }}{2}$
$\begin{array}{l}z_1^{2017} + z_2^{2017} = {\left( { - \dfrac{1}{2} + i\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^{2017}} + {\left( { - \dfrac{1}{2} - i\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^{2017}}\\ = {\left( {\cos \dfrac{{2\pi }}{3} + i\sin \dfrac{{2\pi }}{3}} \right)^{2017}} + {\left[ {\cos \left( { - \dfrac{{2\pi }}{3}} \right) + i\sin \left( { - \dfrac{{2\pi }}{3}} \right)} \right]^{2017}}\\ = \cos \left( {\dfrac{{2017.2\pi }}{3}} \right) + i\sin \left( {\dfrac{{2017.2\pi }}{3}} \right) + \cos \left( { - \dfrac{{2017.2\pi }}{3}} \right) + i\sin \left( { - \dfrac{{2017.2\pi }}{3}} \right)\\ = 2\cos \dfrac{{4034\pi }}{3} = 2\cos \dfrac{{2\pi }}{3} = - 1\end{array}$
Hướng dẫn giải:
- Tính ${z_1},{z_2}$ và đưa chúng về dạng lượng giác.
- Sử dụng công thức Moivre để tính giá trị biểu thức.
Câu hỏi khác
- Bài tập số phức và các phép toán cộng, trừ, nhân, chia số phức toán 12 có lời giải
- Bài tập phương trình bậc hai với hệ số thực (căn bậc hai của số phức) toán 12 có lời giải
- Bài tập tìm min, max liên quan đến số phức có lời giải MÔN TOÁN Lớp 12
- Bài tập điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trước có lời giải MÔN TOÁN Lớp 12
- Bài tập dạng lượng giác của số phức toán 12 có lời giải
