Cho $z$ là số phức thỏa mãn \(z + \dfrac{1}{z} = 1\). Tính giá trị của \({z^{2017}} + \dfrac{1}{{{z^{2017}}}}\)
Trả lời bởi giáo viên
Ta thấy \(z + \dfrac{1}{z} = 1 \Leftrightarrow {z^2} - z + 1 = 0 \Rightarrow z = \dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i\)
Ta chỉ cần lấy 1 nghiệm do \({z_1}.{z_2} = 1\) và vai trò của \({z_1}\) và \({z_2}\) trong biểu thức \({z^{2017}} + \frac{1}{{{z^{2017}}}}\) là như nhau.
Lại có: \(z = \cos \dfrac{\pi }{3} + i\sin \dfrac{\pi }{3} \Rightarrow {z^{2017}} = \cos \dfrac{{2017.\pi }}{3} + i\sin \dfrac{{2017.\pi }}{3} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i\)
Suy ra \(\dfrac{1}{{{z^{2017}}}} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i\)
Hướng dẫn giải:
- Giải phương trình tìm các nghiệm \({z_1},{z_2}\)
- Đưa \({z_1},{z_2}\) về dạng lượng giác và sử dụng công thức Moivre để tính giá trị biểu thức.