Câu hỏi:
2 năm trước
Cho số phức \(z = - 2 + 2\sqrt 3 i\). Tìm các số nguyên dương \(n\) để \({z^n}\) là số thực.
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
Ta có: \(z = - 2 + 2\sqrt 3 i = 4\left( { - \dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right) = 4\left( {\cos \dfrac{{2\pi }}{3} + i\sin \dfrac{{2\pi }}{3}} \right)\)
$ \Rightarrow {z^n} = {4^n}\left( {\cos \dfrac{{2n\pi }}{3} + i\sin \dfrac{{2n\pi }}{3}} \right)$
\({z^n}\) là số thực \( \Leftrightarrow \sin \dfrac{{2n\pi }}{3} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{2n\pi }}{3} = k\pi \Leftrightarrow n = \dfrac{{3k}}{2}\)
Do \(n\) nguyên dương nên \(\dfrac{{3k}}{2} \in {N^*} \Leftrightarrow k = 2m,m \in {N^*} \Rightarrow n = \dfrac{{3k}}{2} = \dfrac{{3.2m}}{2} = 3m,m \in {N^*}\)
Vậy \(n = 3m,m \in {N^*}\).
Hướng dẫn giải:
- Đưa \(z\) về dạng lượng giác.
- Tính \({z^n}\) bằng công thức Moivre.
- Điều kiện để số phức \(z = a + bi\) là số thực là \(b = 0\).
Câu hỏi khác
- Bài tập số phức và các phép toán cộng, trừ, nhân, chia số phức toán 12 có lời giải
- Bài tập phương trình bậc hai với hệ số thực (căn bậc hai của số phức) toán 12 có lời giải
- Bài tập điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trước có lời giải MÔN TOÁN Lớp 12
- Bài tập tìm min, max liên quan đến số phức có lời giải MÔN TOÁN Lớp 12
- Bài tập dạng lượng giác của số phức toán 12 có lời giải
