Mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp đa diện

Xét tứ giác $ABCE$ có $AB = BC = AE = a,\,\,BC\parallel AE,\,\,\angle ABC = {90^0}$ nên $ABCE$ là hình vuông.

Gọi $O = AC \cap BD$, $I$ là trung điểm của $SC$ ta có $OI\parallel SA$ ($OI$ là đường trung bình của tam giác $SAC$) nên $OI \bot \left( {ABCD} \right)$.

Do đó $IA = IB = IC = IE$.

Lại có $SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AC \Rightarrow \Delta SAC$ vuông tại $A$  (tam giác vuông có trung điểm của cạnh huyền là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác).

$\Rightarrow IS = IA = IB = IC = IE$ $\Rightarrow I$ là tâm mặt cầu đi qua các điểm $S,\,\,A,\,\,B,\,\,C,\,\,E$, bán kính của khối cầu này là $R = IS = \dfrac{1}{2}SC$.

Vì  là hình vuông cạnh  nên $AC = a\sqrt 2$.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông  có: $SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}}  = \sqrt {2{a^2} + 2{a^2}}  = 2a$.

Vậy $R = \dfrac{1}{2}SC = a$.

Thể tích khối cầu đã cho là: $V = 4\pi {a^3}$ $\Leftrightarrow \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = 4\pi {a^3}$ $\Leftrightarrow {R^3} = 3{a^3} \Leftrightarrow R = a\sqrt[3]{3}$

Bán kính của mặt cầu đã cho là:$R = 12:2 = 6.$

Thể tích khối cầu đã cho là: $V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{4}{3}\pi {.6^3} = 288\pi .$

Diện tích mặt cầu đã cho là:$S = 4\pi {r^2} = 4\pi {.6^2} = 144\pi .$

Diện tích mặt cầu bán kính $R = 3$ đã cho là: $S = 4\pi {R^2} = 4\pi {.3^2} = 36\pi .$

Gọi $M$ là trung điểm của $AC$. Vì tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$

Qua $M$ dựng đường thẳng $d\parallel SA,\,\,d \cap SC = \left\{ I \right\}$, khi đó ta có $IA = IB = IC\,\,\,\left( 1 \right)$.

Xét tam giác $SAC$ có: $M$ là trung điểm $AC$, $MI\parallel SA$ $\Rightarrow I$ là trung điểm của $SC$ (định lí đường trung bình của tam giác).

Mà $\Delta SAC$ vuông tại $C$ nên $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta SAC$ $\Rightarrow IA = IC = IS\,\,\left( 2 \right)$.

Từ (1) và (2) $\Rightarrow IA = IB = IC = IS$ $\Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp $S.ABC$, khối cầu này có bán kính $R = IA$.

Ta có $IM = \dfrac{1}{2}SA = \dfrac{5}{2}$, $AM = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}\sqrt {{3^2} + {4^2}}  = \dfrac{5}{2}$.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $AIM$ có:

$R = IA = \sqrt {A{M^2} + I{M^2}}  = \sqrt {\dfrac{{25}}{4} + \dfrac{{25}}{4}}  = \dfrac{{5\sqrt 2 }}{2}$

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Kẻ đường kính AD của đường tròn tâm I.

Khi đó  $\left\{ \begin{array}{l}C \in \left( {I;r} \right) \Rightarrow AC \bot CD\\SA \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAC} \right)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow CD \bot AN;AN \bot SC\\ \Rightarrow AN \bot \left( {SCD} \right)\\ \Rightarrow AN \bot DN\end{array}$

$\Rightarrow \angle AND = 90^\circ$

Nên N thuộc đường tròn $\left( {I;r} \right)$

Tương tự ta có M thuộc đường tròn $\left( {I;r} \right)$

Vậy mặt cầu ngoại tiếp ABCNM là mặt cầu $\left( {I;r} \right)$ $\Rightarrow r = IA$.

Ta có $2r = \frac{{BC}}{{\sin BAC}} = \frac{{\sqrt 7 }}{{\sin 60^\circ }} \Rightarrow r = \frac{{\sqrt {21} }}{3}$.

Gọi bán kính là $R$

Ta có: $V = \dfrac{{32\pi {a^3}}}{3}$  nên $\dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{{32}}{3}\pi {a^3}$$\Leftrightarrow {R^3} = 8{a^3} \Leftrightarrow R = 2a$

Gọi $O$ là trung điểm của $AC$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SB\\AH \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AH \bot HC$ $\Rightarrow \Delta AHC$ vuông tại $H$ $\Rightarrow H$ thuộc mặt cầu tâm $O$ đường kính $AC$.

Ta lại có: $\Delta AKC,\,\,\Delta ABC$ lần lượt vuông tại $K,\,\,B$ $\Rightarrow K,\,\,B$ thuộc thuộc mặt cầu tâm $O$ đường kính $AC$.

$\Rightarrow$ 5 điểm $A,\,\,H,\,\,K,\,\,B,\,\,C$ đều thuộc mặt cầu tâm $O$ đường kính AC hay khối chóp $A.HKCB$ nội tiếp mặt cầu tâm $O$ đường kính $AC$. Khi đó bán kính mặt cầu là $R = \dfrac{{AC}}{2}$.

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ và $BC = a \Rightarrow AC = a\sqrt 2$$\Rightarrow R = \dfrac{{AC}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

Vậy thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp $A.HKCB$ bằng $V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{4}{3}\pi .{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^3} = \dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 2 }}{3}$.

Theo đề bài ta có: $V = 36\pi$ $\Leftrightarrow \frac{4}{3}\pi {R^3} = 36\pi$$\Leftrightarrow {R^3} = 27$$\Leftrightarrow R = 3$

Diện tích mặt cầu đã cho là: $S = 4\pi {R^2} = 4\pi {.3^2} = 36\pi .$

Diện tích mặt cầu có bán kính $r$ bằng $4\pi {r^2}$.

Tăng bán kính mặt cầu lên 4 lần thì diện tích mặt cầu tăng 16 lần.

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác ABC ta có:

$\begin{array}{l}B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos \angle BAC\\B{C^2} = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} + {2^2} - 2.\sqrt 3 .2.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = 1\\ \Rightarrow BC = 1\\ \Rightarrow A{B^2} + B{C^2} = A{C^2}\end{array}$

$\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại B (Định lí Pytago đảo).

Gọi I là trung điểm của AC $\Rightarrow I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, do đó có IA = IB = IC  (1).

Gọi H là trung điểm của AB ta có: $IH \bot AB$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}IH \bot AB\\IH \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow IH \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow IH \bot \left( {ABM} \right)$.

Lại có $\Delta ABM$ vuông tại M, có H là trung điểm của cạnh huyền AB nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABM$ $\Rightarrow IH$ là trục của $\left( {ABM} \right)$ $\Rightarrow IA = IB = IM$  (2).

$\Delta ACN$ vuông tại N có I là trung điểm cạnh huyền BC nên IA = IC = IN (3)

Từ (1), (2), (3) ta suy ra IA = IB = IC = IM = IN hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp A.BCNM, bán kính khối cầu là R = IA $= \dfrac{1}{2}AC = 1$.

Thể tích khối cầu có bán kính $r = a$ là: ${V_1} = \frac{4}{3}\pi {r^3} = \frac{4}{3}\pi {a^3}.$

Thể tích khối cầu có bán kính $R = 2a$ là: ${V_2} = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi {\left( {2a} \right)^3} = \frac{{32}}{3}\pi {a^3}.$

$\Rightarrow \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{\frac{4}{3}\pi {a^3}}}{{\frac{{32}}{3}\pi {a^3}}} = \frac{4}{{32}} = \frac{1}{8}.$

+) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD

Ta có  tam giác ACD cân tại $A$ có trung tuyến $AF$$\Rightarrow AF \bot CD$

 cân tại $B$ có trung tuyến $BF \Rightarrow BF \bot CD$.

 $\Rightarrow CD \bot (AFB) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{CD \bot AB}\\{CD \bot EF}\end{array}} \right.$

Mặt khác vì $\Delta ACD = \Delta BCD$ (c.c.c) $\Rightarrow AF = BF \Rightarrow EF \bot AB$.

$\Rightarrow EF$ là đoạn vuông góc chung của AB và CD.

Do đó EF là trung trực của AB và CD nên tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là điểm $I$ thuộc đoạn EF

+) Trong tam giác vuông $ADF \cdot A{F^2} = A{D^2} - D{F^2} = 18$$\Rightarrow AF = 3\sqrt 2$.

${V_{ABCD}} = 2{V_{DABF}} = 2 \cdot \dfrac{1}{3}DF \cdot {S_{ABF}}$$= \dfrac{2}{3}DF\dfrac{1}{2} \cdot AF \cdot BF\sin \widehat {AFB}$ $\le \dfrac{1}{3}DF \cdot AF \cdot BF = \dfrac{1}{3} \cdot {(3\sqrt 2 )^2} = 6.$

${V_{ABCD}}$ lớn nhất bằng 6 khi $\sin \widehat {AFB} = 1 \Leftrightarrow \widehat {AFB} = {90^0 }$$\Leftrightarrow AF \bot BF$.

+) Trong tam giác vuông cân ABF có: $AB = AF\sqrt 2  = 6 \Rightarrow EF = 3$.

Đặt $IE = x \Rightarrow IF = 3 - x(0 \le x \le 3)$

Trong tam giác vuông AEI có: $A{I^2} = {x^2} + 9$.

Trong tam giác vuông DFI có: $D{I^2} = {(3 - x)^2} + 4$.

Tứ diện ABCD ngoại tiếp mặt cầu tâm $I$ thì $R = AI = DI \Rightarrow A{I^2} = D{I^2}$

$\Rightarrow {x^2} + 9 = {(3 - x)^2} + 4$$\Leftrightarrow  - 6x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{3}$$\Rightarrow {R^2} = A{I^2} = \dfrac{{85}}{9}$

Vậy $S = 4\pi {R^2} = 4\pi  \cdot \dfrac{{85}}{9} = \dfrac{{340\pi }}{9}$.

Diện tích của mặt cầu bán kính $R = 3$ bằng $S = 4\pi {.3^2} = 36\pi$.

Thể tích khối cầu đã cho là: $V = \dfrac{4}{3}\pi {r^3} = \dfrac{4}{3}\pi {.2^3} = \dfrac{{32\pi }}{3}.$

Gọi $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$

Ta có: $SA \bot \left( {ABC} \right)$

Qua $G,$ dựng đường thẳng $d$ song song với $SA$ $\Rightarrow d \bot \left( {ABC} \right)$

Dựng đường trung trực của $SA,$ cắt $d$ tại $I$ $\Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối $SABC.$

$\Rightarrow R = AI.$

Gọi $M,\,\,N$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $SA.$

Ta có: $\Delta ABC$ đều $\Rightarrow AM \bot BC$ (tính chất tam giác đều).

Lại có: $\Delta SBC$ cân tại $S$ $\Rightarrow SM \bot BC = \left\{ M \right\}$ (tính chất tam giác cân)

$\Rightarrow \angle \left( {\left( {SBC} \right),\,\,\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SM,\,\,AM} \right) = \angle SMA = {30^0}$

$\Rightarrow SA = AM.\tan {30^0} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{3} = a.$

Có $AG = \dfrac{2}{3}AM = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}.$

Ta có: $ANIG$ là hình chữ nhật $\Rightarrow AN = IG = \dfrac{1}{2}SA = \dfrac{a}{2}.$

Áp dụng định lý Pitago cho $\Delta AIG$ vuông tại $G$ ta có:

$R = AI = \sqrt {A{G^2} + G{I^2}}$ $= \sqrt {{{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}  = \dfrac{{a\sqrt {57} }}{6}.$

$\Rightarrow$ Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $SABC$ là: $S = 4\pi {R^2} = 4\pi .{\left( {\dfrac{{a\sqrt {57} }}{6}} \right)^2} = \dfrac{{19\pi {a^2}}}{3}.$

Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu nó đi qua mọi đỉnh của đa diện.

Trục đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy.