Mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp đa diện

Mọi điểm nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng và ngược lại.

- Hình hộp chữ nhật và hình lập phương đều có mặt cầu ngoại tiếp nên A và B đúng.

- Hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác nội tiếp được đường tròn thì có mặt cầu ngoại tiếp nên C đúng.

- Hình chóp có đáy là đa giác nội tiếp được đường tròn thì có mặt cầu ngoại tiếp nên D sai vì hình thoi không nội tiếp được đường tròn.

Vì tứ diện là hình chóp tam giác nên nó luôn có mặt cầu ngoại tiếp, ngoài ra nó chỉ có duy nhất một mặt cầu ngoại tiếp.

Trong các hình chóp tam giác, tứ giác, ngũ giác, lục giác thì chỉ có tam giác luôn nội tiếp được đường tròn nên hình chóp tam giác luôn nội tiếp được mặt cầu.

Ta thấy: \(\widehat {SAC} = \widehat {SBC} = {90^0}\) nên các đỉnh \(A,B\) luôn nhìn cạnh \(SC\) một góc \({90^0}\). Do đó tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là trung điểm \(SC\).

Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều nằm trên đoạn nối đỉnh với tâm đáy.

Ta có: \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) nên \(AC = a\sqrt 2  \Rightarrow OA = \dfrac{{AC}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Tam giác \(SOC\) vuông tại \(O\) nên \(S{C^2} = S{O^2} + O{C^2} \Rightarrow h = SO = \sqrt {S{C^2} - O{C^2}}  = \sqrt {{b^2} - \dfrac{{{a^2}}}{2}} \)

Vậy \(R = \dfrac{{{b^2}}}{{2h}} = \dfrac{{{b^2}}}{{2\sqrt {{b^2} - \dfrac{{{a^2}}}{2}} }}\)

Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy nội tiếp mặt cầu có bán kính \(R = \sqrt {{r^2} + \dfrac{{{h^2}}}{4}} \), với \(r\) là bán kính đường tròn đáy, \(h\) là chiều cao hình chóp (độ dài cạnh bên vuông góc với đáy).

Công thức tính diện tích mặt cầu \(S = 4\pi {R^2}\)

Ta có: thể tích khối cầu \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} \Rightarrow R = \sqrt[3]{{\dfrac{{3V}}{{4\pi }}}}\)

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện vuông $S.ABC$ được tính theo công thức

$R = \sqrt {\dfrac{{S{A^2} + S{B^2} + S{C^2}}}{4}}  = \dfrac{{\sqrt {{a^2} + {{\left( {2a} \right)}^2} + {{\left( {3a} \right)}^2}} }}{2} = \dfrac{{a\sqrt {14} }}{2}$

Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SA \bot AB\\SA \bot AC\end{array} \right.\).

Mà \(AB \bot AC\) nên hình chóp \(S.ABC\) là tứ diện vuông.

Áp dụng công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện vuông ta được \(R = \sqrt {\dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{4}}  = \dfrac{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}{2}\) 

Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm $AB$, tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta SAB$, tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC \Rightarrow MNPQ$ là hình vuông suy ra

$PN = MQ = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6};NB = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}$

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp là $R = PB = \sqrt {P{N^2} + N{B^2}}  = \dfrac{{\sqrt {15} }}{6}$

Thể tích $V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{{5\sqrt {15} \pi }}{{54}}$

Do $D$ đối xứng với $C$ qua $B$ nên có $BC = DC = AC$ suy ra tam giác $ABD$ là tam giác vuông tại $A$.

Kẻ đường thẳng $d$ qua $C$ vuông góc với đáy, đường thẳng này là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy $ABD$ .

Tam giác $SAB$ cân tại $S$ , gọi $M$ là trung điểm $AB,H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $SAB$

 \( \Rightarrow H \in SM;SM = \sqrt {S{A^2} - A{M^2}}  = \dfrac{{a\sqrt {13} }}{{2\sqrt 3 }}\)

\(SH = \dfrac{{AB.SA.SB}}{{4.{S_{SAB}}}} = \dfrac{{{{\left( {\dfrac{{2a}}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}.a}}{{4.\dfrac{1}{2}.a.AM}} = \dfrac{{4a}}{{\sqrt {39} }}\)

Trong $\left( {SAC} \right)$  dựng\(HI \bot SM\left( {I \in d} \right)(1)\).

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot SM\\AB \bot MC\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SMC} \right) \Rightarrow AB \bot HI(2)\)

Từ (1), (2) suy ra \(HI \bot \left( {SAB} \right)\) , suy ra $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chóp $S.ABD$

Gọi \(Q = MS \cap CI\), xét tam giác $SCM$ có

\(\dfrac{{SM}}{{QM}} = \dfrac{{MG}}{{MC}} = \dfrac{1}{3}\) \( \Rightarrow QM = 3SM = 3.\dfrac{{a\sqrt {13} }}{{2\sqrt 3 }} = \dfrac{{a\sqrt {39} }}{2}\)

\( \Rightarrow QH = QM - MS + HS\) \( = \dfrac{{a\sqrt {39} }}{2} - \dfrac{{a\sqrt {13} }}{{2\sqrt 3 }} + \dfrac{{4a}}{{\sqrt {39} }} = \dfrac{{17a}}{{\sqrt {39} }}\)

\(QC = \sqrt {Q{M^2} - M{C^2}}  = 3a\)

Xét: \(\Delta QHI \sim \Delta QCM \Rightarrow \dfrac{{HI}}{{CM}} = \dfrac{{HQ}}{{QC}}\) \( \Rightarrow HI = \dfrac{{HQ.CM}}{{QC}} = \dfrac{{17a}}{{6\sqrt {13} }}\)

\( \Rightarrow R = SI = \sqrt {H{I^2} + H{S^2}}  = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt {17} }}{{6\sqrt {13} }}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{4a}}{{\sqrt {39} }}} \right)}^2}}  = \dfrac{{a\sqrt {37} }}{6}\)

Gọi $H$ là tâm tam giác đều $BCD,E$ là trung điểm $CD$

Ta có $AH \bot \left( {BCD} \right)$

Gọi $I,r$ là tâm và bán kính mặt cầu tiếp xúc với các mặt của tứ diện $ABCD$ thì $I$ là giao của $AH$ và phân giác góc $AEB$ của $\Delta AEB$. Ta có

$\begin{array}{l}AE = BE = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2};HE = \dfrac{{BE}}{3} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\\AH = \sqrt {A{E^2} - H{E^2}}  = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\end{array}$

Áp dụng tính chất đường phân giác:

$\begin{array}{l}\dfrac{{IH}}{{IA}} = \dfrac{{EH}}{{EA}} \Rightarrow \dfrac{{IH}}{{IH + IA}} = \dfrac{{EH}}{{EH + EA}}\\ \Rightarrow r = IH = \dfrac{{EH.AH}}{{EH + EA}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{{12}}\end{array}$

Gọi $O$ là tâm hình chữ nhật $ABCD,M$ và $I$ lần lượt là trung điểm $SA,SC \Rightarrow AOIM$ là hình chữ nhật.

Ta có $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật $ABCD,OI \bot \left( {ABCD} \right)$ nên $OI$ là trục đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật $ABCD$

$IM \bot SA \Rightarrow IM$ là trung trực $SA$ trong mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$

$ \Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Có $OI = AM = \dfrac{{SA}}{2} = a;OC = \dfrac{{AC}}{2} = \dfrac{1}{2}\sqrt {A{B^2} + A{D^2}}  = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}$

Bán kính và thể tích mặt cầu lần lượt là

$\begin{array}{l}R = IC = \sqrt {I{O^2} + O{C^2}}  = \dfrac{{3a}}{2}\\V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{{9\pi {a^3}}}{2}\end{array}$

Ta có:

\(\begin{array}{l}A'B' = AB = a\\B'C' = \sqrt {A'B{'^2} + A'C{'^2}}  = \sqrt {{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 2 \\B'C = \sqrt {B'C{'^2} + C'{C^2}}  = \sqrt {2{a^2} + 2{a^2}}  = 2a\\A'C = \sqrt {A'C{'^2} + C'{C^2}}  = \sqrt {{a^2} + 2{a^2}}  = a\sqrt 3 \\ \Rightarrow A'B{'^2} + A'{C^2} = {a^2} + 3{a^2} = 4{a^2} = B'{C^2}\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta A'B'C\) vuông tại \(A'\).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(B'C\) thì \(IB' = IC = IA'\)

Mà \(\Delta CC'B'\) vuông tại \(C'\) nên \(IB' = IC = IC'\)

Vậy \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(CA'B'C'\) và bán kính \(R = \frac{1}{2}B'C = a\).

\( \Rightarrow S = 4\pi {R^2} = 4\pi {a^2}\).

Gọi $AA'$  là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$

\(AC \bot A'C;\,AB \bot A'B\)

Ta chứng minh \(AC' \bot A'C'\)

\(SA \bot A'C;\,AC \bot A'C \Rightarrow A'C \bot AC'\)

Mà \(AC' \bot SC \Rightarrow AC' \bot A'C'\)

Tương tự \(AB' \bot A'B'\)

Như vậy $B,C,C',B'$ cùng nhìn $AA'$  bằng $1$  góc vuông nên $A,B,C,B',C'$ cùng thuộc $1$  mặt cầu có đường kính là $AA'$  và cũng đồng thời là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Tính \(BC = \sqrt {{b^2} + {c^2} - 2b\cos \alpha } \)

Trong tam giác \(ABC:\dfrac{{BC}}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow R = \dfrac{{\sqrt {{b^2} + {c^2} - 2bc\cos \alpha } }}{{2\sin \alpha }}\)

Áp dụng công thức trên có $R = \dfrac{3}{2}$

Áp dụng các công thức trong tứ diện đều cạnh $a$

Bán kính mặt cầu nội tiếp $r = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{{12}} = 1 \Rightarrow a = 2\sqrt 6 $

Thể tích tứ diện đều đó là $V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}} = 8\sqrt 3 $