Cho hình chóp S.ABC có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), \(AB = \sqrt 3 \), \(AC = 2\) và \(\angle BAC = {30^0}\). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCNM là:

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác ABC ta có:

\(\begin{array}{l}B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos \angle BAC\\B{C^2} = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} + {2^2} - 2.\sqrt 3 .2.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = 1\\ \Rightarrow BC = 1\\ \Rightarrow A{B^2} + B{C^2} = A{C^2}\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại B (Định lí Pytago đảo).

Gọi I là trung điểm của AC \( \Rightarrow I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, do đó có IA = IB = IC  (1).

Gọi H là trung điểm của AB ta có: \(IH \bot AB\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}IH \bot AB\\IH \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow IH \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow IH \bot \left( {ABM} \right)\).

Lại có \(\Delta ABM\) vuông tại M, có H là trung điểm của cạnh huyền AB nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABM\) \( \Rightarrow IH\) là trục của \(\left( {ABM} \right)\) \( \Rightarrow IA = IB = IM\)  (2).

\(\Delta ACN\) vuông tại N có I là trung điểm cạnh huyền BC nên IA = IC = IN (3)

Từ (1), (2), (3) ta suy ra IA = IB = IC = IM = IN hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp A.BCNM, bán kính khối cầu là R = IA \( = \dfrac{1}{2}AC = 1\).