Trong không gian \(Oxyz\), viết phương trình chính tắc của mặt cầu \((S)\), biết rằng \((S)\) có một đường kính là \(MN\) với \(M\left( {2;5;6} \right)\) và \(N\left( {0; - 1;2} \right)\).
Gọi \(I\) là trung điểm của \(MN \Rightarrow I\left( {1;2;4} \right)\), và \(I\) chính là tâm mặt cầu đường kính \(MN\).
Bán kính mặt cầu đường kính \(MN\) là \(R = \dfrac{{MN}}{2} = \dfrac{{\sqrt {{2^2} + {6^2} + {4^2}} }}{2} = \sqrt {14} .\)
Vậy phương trình mặt cầu tâm \(I\), bán kính \(R = \sqrt {14} \) là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 14\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y - 2z - 5 = 0\). Diện tích của \(\left( S \right)\) bằng:
Mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y - 2z - 5 = 0\) có bán kính \(R = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2} - \left( { - 5} \right)} = \sqrt {11} \).
Vậy diện tích mặt cầu \(\left( S \right)\) là: \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi .{\left( {\sqrt {11} } \right)^2} = 44\pi \).
Trong không gian \(Oxyz\), mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm là điểm \(A\left( {1;2; - 3} \right)\) và đi qua điểm \(B\left( {3; - 2; - 1} \right)\). Phương trình của mặt cầu \(\left( S \right)\) là:
Bán kính mặt cầu \(\left( S \right)\) là: \(R = AB = \sqrt {{{\left( {3 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1 + 3} \right)}^2}} = \sqrt {24} \).
Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 24.\)
Trong không gian với hệ tọa độ \(\left( {Oxyz} \right),\) cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 4z - 2 = 0.\) Diện tích mặt cầu \(\left( S \right)\) bằng:
Mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 4z - 2 = 0\) có tâm \(I\left( {1; - 1;\,\,2} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {1 + 1 + 4 + 2} = 2\sqrt 2 \)
\( \Rightarrow \) Diện tích mặt cầu \(\left( S \right)\) là: \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi .{\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} = 32\pi .\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {1;0;0} \right),B\left( {2;3;0} \right),C\left( {0;0;3} \right)\). Tập hợp các điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\) thỏa mãn \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 23\) là mặt cầu có bán kính bằng:
Ta có \(A\left( {1;0;0} \right),B\left( {2;3;0} \right),C\left( {0;0;3} \right);M\left( {x;y;z} \right)\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M{A^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2}\\M{B^2} = {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {z^2}\\M{C^2} = {x^2} + {y^2}{\left( {z - 3} \right)^2}\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 23\\ \Rightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} + {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {z^2} + {x^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 23\\ \Leftrightarrow 3\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) - 6x - 6y - 6z = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2\left( {x + y + z} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 3\end{array}\)
\( \Rightarrow R = \sqrt 3 \)
Trong không gian \(Oxyz\), có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2\left( {1 - 2m} \right)y - 2\left( {m - 2} \right)z + 6{m^2} + 5 = 0\) là phương trình của một mặt cầu?
Phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2\left( {1 - 2m} \right)y - 2\left( {m - 2} \right)z + 6{m^2} + 5 = 0\) là phương trình của một mặt cầu
\( \Leftrightarrow 0 + {\left( {1 - 2m} \right)^2} + {\left( {m - 2} \right)^2} - \left( {6{m^2} + 5} \right) > 0 \Leftrightarrow - {m^2} - 8m > 0 \Leftrightarrow - 8 < m < 0\)
Mà m là số nguyên \( \Rightarrow m \in \left\{ { - 7; - 6;...; - 1} \right\}\).
Vậy có 7 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trong không gian Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {1;0; - 3} \right)\) và bán kính \(R = 3\)?
Phương trình mặt cầu tìm \(I\left( {1;0; - 3} \right)\), bán kính R = 3 là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 9.\)
Trong không gian Oxyz, mặt cầu đi qua bốn điểm \(A\left( {1;0;0} \right),\) \(B\left( {0; - 2;0} \right),\) \(C\left( {0;0;4} \right)\) và gốc tọa độ O có bán kính bằng
Gọi tâm mặt cầu là \(I\left( {a;b;c} \right)\)
Ta có mặt cầu đi qua \(A\left( {1;0;0} \right),B\left( {0; - 2;0} \right),C\left( {0;0;4} \right)\) và gốc tọa độ O.
Nên \(\left\{ \begin{array}{l}IA = IO\\IB = IO\\IC = IO\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 1} \right)^2} = {a^2}\\{\left( {b + 2} \right)^2} = {b^2}\\{\left( {c - 4} \right)^2} = {c^2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{2}\\b = - 1\\c = 2\end{array} \right.\)
Suy ra \(I\left( {\dfrac{1}{2}; - 1;2} \right) \Rightarrow R = IO = \dfrac{{\sqrt {21} }}{2}.\)
Trong không gian \(Oxyz\), cho\(A\left( {2;0;4} \right)\) và \(B\left( {0; - 6;0} \right)\), M là điểm bất kì thỏa mãn \(3M{A^2} + 2M{B^2} = \dfrac{{561}}{{280}}A{B^2}\). Khi đó M thuộc mặt cầu có bán kính là giá trị nào dưới đây?
Xét điểm \(I\left( {x;y;z} \right)\) thỏa mãn \(3\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3\left( {2 - x} \right) + 2\left( {0 - x} \right) = 0\\3\left( {0 - y} \right) + 2\left( { - 6 - y} \right) = 0\\3\left( {4 - z} \right) + 2\left( {0 - z} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{6}{5}\\y = - \dfrac{{12}}{5}\\z = \dfrac{{12}}{5}\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow I\left( {\dfrac{6}{5}; - \dfrac{{12}}{5};\dfrac{{12}}{5}} \right)\).
Mà \(A{B^2} = {2^2} + {6^2} = {4^2} = 56\).
Xét
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,3M{A^2} + 2M{B^2} = \dfrac{{561}}{5}\\ \Leftrightarrow 3{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + 2{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} = \dfrac{{561}}{5}\\ \Leftrightarrow 3\left( {M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IA} + I{A^2}} \right) + 2\left( {M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IB} + I{B^2}} \right) = \dfrac{{561}}{5}\\ \Leftrightarrow 5M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {3\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} } \right) + 3I{A^2} + 2I{B^2} = \dfrac{{561}}{5}\\ \Leftrightarrow 5M{I^2} + \dfrac{{672}}{{25}} + \dfrac{{1008}}{{25}} = \dfrac{{561}}{5}\\ \Leftrightarrow M{I^2} = 9 \Leftrightarrow MI = 3.\end{array}\)
Vậy M luôn chạy trên mặt cầu tâm \(I\left( {\dfrac{6}{5}; - \dfrac{{12}}{5};\dfrac{{12}}{5}} \right)\), bán kính R = MI = 3.
Trong không gian \(Oxyz\), phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu?
Xét phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2 = 0\) ta có \(a = b = c = 0,\,\,d = - 2\), khi đó ta có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 2 > 0\).
Vậy \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2 = 0\) là một phương trình mặt cầu.
Trong không gian Oxyz, cho điểm \(A\left( {3;0;0} \right),\) \(B\left( {0; - 2;0} \right)\) và \(C\left( {0;0; - 4} \right)\). Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có diện tích bằng
Gọi \(I\left( {a;b;c} \right)\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(OABC\) \( \Rightarrow IO = IA = IB = IC\)\( \Rightarrow I{O^2} = I{A^2} = I{B^2} = I{C^2}\).
Khi đó ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} = {\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} + {z^2}\\{x^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {z^2}\\{x^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2} + {y^2} + {\left( {z + 4} \right)^2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = {\left( {x - 3} \right)^2}\\{y^2} = {\left( {y + 2} \right)^2}\\{z^2} = {\left( {z + 4} \right)^2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 6x + 9 = 0\\4y + 4 = 0\\8z + 16 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{3}{2}\\y = - 1\\z = - 2\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow I\left( {\dfrac{3}{2}; - 1;2} \right)\). Suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(OABC\) là \(R = IO = \sqrt {\dfrac{9}{4} + 1 + 4} = \sqrt {\dfrac{{29}}{4}} \).
Váy diện tích cầu ngoại tiếp tứ diện \(OABC\) là \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi .\dfrac{{29}}{4} = 29\pi .\)
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\) thuộc đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{{x - 4}}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z + 3}}{{ - 1}}\) và \(\left( S \right)\) đi qua hai điểm \(A\left( { - 3;0;5} \right)\) và \(B\left( {1;4; - 1} \right)\). Khi đó bán kính mặt cầu \(\left( S \right)\) là giá trị nào dưới đây?
Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow M\left( { - 1;2;2} \right)\).
Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng trung trực của \(AB\), khi đó \(\left( P \right)\) đi qua \(M\) và có 1 VTPT là \(\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} \left( {2;2; - 3} \right)\).
\( \Rightarrow \) Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là: \(2\left( {x + 1} \right) + 2\left( {y - 2} \right) - 3\left( {z - 2} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 2x + 2y - 3z + 4 = 0\).
Vì \(I\) là tâm mặt cầu \(\left( S \right)\) đi qua 2 điểm \(A,\,\,B\) nên \(I \in \left( P \right)\).
Mà \(I \in \left( d \right) \Rightarrow I\left( {4 + 2t;\,\,t;\,\, - 3 - t} \right)\).
\(I \in \left( P \right) \Rightarrow 2\left( {4 + 2t} \right) + 2t - 3\left( { - 3 - t} \right) + 4 = 0\) \( \Leftrightarrow t = - \dfrac{7}{3}\).
\( \Rightarrow I\left( { - \dfrac{2}{3}; - \dfrac{7}{3}; - \dfrac{2}{3}} \right)\).
Vậy bán kính mặt cầu là \(R = IA = \sqrt {{{\left( { - 3 + \dfrac{2}{3}} \right)}^2} + {{\left( {0 + \dfrac{7}{3}} \right)}^2} + {{\left( {5 + \dfrac{2}{3}} \right)}^2}} = \sqrt {43} \).
Trong không gian Oxyz, tâm mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = 16\) có tọa độ là:
Mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = 16\) có tâm \(I\left( {3;0; - 5} \right)\).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 102
Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {0; - 2;1} \right)\) và bán kính bằng \(2.\) Phương trình của \(\left( S \right)\) là:
Ta có mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {0; - 2;1} \right)\) và bán kính bằng \(2\) nên \(\left( S \right):{x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 4\)
Đề thi THPT QG 2020 – mã đề 104
Trong không gian \(Oxyz,\)cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 16\). Bán kính của mặt cầu \(\left( S \right)\) bằng
Mặt cầu \(\left( S \right):\,\,\,{x^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 16\) có bán kính \(R = 4\).
Trong không gian \(Oxyz,\) mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x + 4y + 2z - 4 = 0\) có bán kính \(R\) là
Mặt cầu \(\left( S \right):\,\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x + 4y + 2z - 4 = 0\) có bán kính \(R = \sqrt {{4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} - \left( { - 4} \right)} = \sqrt {25} = 5.\)
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 6z - 11 = 0\). Tọa độ tâm của mặt cầu là \(I\left( {a;b;c} \right)\). Tính \(a + b + c\).
Tọa độ tâm của mặt cầu là \(I\left( {1; - 2;3} \right) \Rightarrow a + b + c = 1 - 2 + 3 = 2\).
Trong không gian $Oxyz$ cho mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 2z - 3 = 0\). Tính bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$.
Phương trình có dạng \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by \)\(+ 2cz + d = 0\) với \(a = - 1,b = 2,c = 1,d = - 3\).
Ta có công thức
\(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \)\(= \sqrt {{{( - 1)}^2} + {2^2} + {1^2} - ( - 3)} \)\( = 3\)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tìm tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu \({(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 4)^2} = 20\).
Phương trình có dạng \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}\) với \(a = 1,b = - 2,c = 4\) và \(R = 2\sqrt 5 \)
có tâm \(I\left( {1; - 2;4} \right)\).
Tìm tâm và bán kính của mặt cầu sau: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x + 2y + 1 = 0\)
Phương trình có dạng \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) với \(a = - 4,b = 1,c = 0,d = 1\)
có tâm \(I( - a, - b, - c) = (4, - 1,0)\)
có \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = \sqrt {{{( - 4)}^2} + {1^2} + {0^2} - 1} = 4\)
