Hệ tọa độ trong không gian (phương trình mặt cầu)

Gọi $I$ là trung điểm của $MN \Rightarrow I\left( {1;2;4} \right)$, và $I$ chính là tâm mặt cầu đường kính $MN$.

Bán kính mặt cầu đường kính $MN$ là $R = \dfrac{{MN}}{2} = \dfrac{{\sqrt {{2^2} + {6^2} + {4^2}} }}{2} = \sqrt {14} .$

Vậy phương trình mặt cầu tâm $I$, bán kính $R = \sqrt {14}$ là: ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 14$.

Mặt cầu $\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y - 2z - 5 = 0$ có bán kính $R = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2} - \left( { - 5} \right)}  = \sqrt {11}$.

Vậy diện tích mặt cầu $\left( S \right)$ là: $S = 4\pi {R^2} = 4\pi .{\left( {\sqrt {11} } \right)^2} = 44\pi$.

Bán kính mặt cầu $\left( S \right)$ là: $R = AB = \sqrt {{{\left( {3 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1 + 3} \right)}^2}}  = \sqrt {24}$.

Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ là: ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 24.$

Mặt cầu $\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 4z - 2 = 0$ có tâm $I\left( {1; - 1;\,\,2} \right)$ và bán kính $R = \sqrt {1 + 1 + 4 + 2}  = 2\sqrt 2$

$\Rightarrow$ Diện tích mặt cầu $\left( S \right)$ là: $S = 4\pi {R^2} = 4\pi .{\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} = 32\pi .$

Ta có $A\left( {1;0;0} \right),B\left( {2;3;0} \right),C\left( {0;0;3} \right);M\left( {x;y;z} \right)$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M{A^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2}\\M{B^2} = {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {z^2}\\M{C^2} = {x^2} + {y^2}{\left( {z - 3} \right)^2}\end{array} \right.$

$\begin{array}{l} \Rightarrow M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 23\\ \Rightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} + {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {z^2} + {x^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 23\\ \Leftrightarrow 3\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) - 6x - 6y - 6z = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2\left( {x + y + z} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 3\end{array}$

$\Rightarrow R = \sqrt 3$

Phương trình ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2\left( {1 - 2m} \right)y - 2\left( {m - 2} \right)z + 6{m^2} + 5 = 0$ là phương trình của một mặt cầu

$\Leftrightarrow 0 + {\left( {1 - 2m} \right)^2} + {\left( {m - 2} \right)^2} - \left( {6{m^2} + 5} \right) > 0 \Leftrightarrow  - {m^2} - 8m > 0 \Leftrightarrow  - 8 < m < 0$

Mà m là số nguyên $\Rightarrow m \in \left\{ { - 7; - 6;...; - 1} \right\}$.

Vậy có 7 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Phương trình mặt cầu tìm $I\left( {1;0; - 3} \right)$, bán kính R = 3 là: ${\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 9.$

Gọi tâm mặt cầu là $I\left( {a;b;c} \right)$

Ta có mặt cầu đi qua $A\left( {1;0;0} \right),B\left( {0; - 2;0} \right),C\left( {0;0;4} \right)$ và gốc tọa độ O.

Nên $\left\{ \begin{array}{l}IA = IO\\IB = IO\\IC = IO\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 1} \right)^2} = {a^2}\\{\left( {b + 2} \right)^2} = {b^2}\\{\left( {c - 4} \right)^2} = {c^2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{2}\\b =  - 1\\c = 2\end{array} \right.$

Suy ra $I\left( {\dfrac{1}{2}; - 1;2} \right) \Rightarrow R = IO = \dfrac{{\sqrt {21} }}{2}.$

Xét điểm $I\left( {x;y;z} \right)$ thỏa mãn $3\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3\left( {2 - x} \right) + 2\left( {0 - x} \right) = 0\\3\left( {0 - y} \right) + 2\left( { - 6 - y} \right) = 0\\3\left( {4 - z} \right) + 2\left( {0 - z} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{6}{5}\\y =  - \dfrac{{12}}{5}\\z = \dfrac{{12}}{5}\end{array} \right.$.

$\Rightarrow I\left( {\dfrac{6}{5}; - \dfrac{{12}}{5};\dfrac{{12}}{5}} \right)$.

Mà $A{B^2} = {2^2} + {6^2} = {4^2} = 56$.

Xét

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,3M{A^2} + 2M{B^2} = \dfrac{{561}}{5}\\ \Leftrightarrow 3{\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + 2{\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right)^2} = \dfrac{{561}}{5}\\ \Leftrightarrow 3\left( {M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IA}  + I{A^2}} \right) + 2\left( {M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IB}  + I{B^2}} \right) = \dfrac{{561}}{5}\\ \Leftrightarrow 5M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {3\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB} } \right) + 3I{A^2} + 2I{B^2} = \dfrac{{561}}{5}\\ \Leftrightarrow 5M{I^2} + \dfrac{{672}}{{25}} + \dfrac{{1008}}{{25}} = \dfrac{{561}}{5}\\ \Leftrightarrow M{I^2} = 9 \Leftrightarrow MI = 3.\end{array}$

Vậy M luôn chạy trên mặt cầu tâm $I\left( {\dfrac{6}{5}; - \dfrac{{12}}{5};\dfrac{{12}}{5}} \right)$, bán kính R = MI = 3.

Xét phương trình ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2 = 0$ ta có $a = b = c = 0,\,\,d =  - 2$, khi đó ta có ${a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 2 > 0$.

Vậy ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2 = 0$ là một phương trình mặt cầu.

Gọi $I\left( {a;b;c} \right)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OABC$ $\Rightarrow IO = IA = IB = IC$$\Rightarrow I{O^2} = I{A^2} = I{B^2} = I{C^2}$.

Khi đó ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} = {\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} + {z^2}\\{x^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {z^2}\\{x^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2} + {y^2} + {\left( {z + 4} \right)^2}\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = {\left( {x - 3} \right)^2}\\{y^2} = {\left( {y + 2} \right)^2}\\{z^2} = {\left( {z + 4} \right)^2}\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 6x + 9 = 0\\4y + 4 = 0\\8z + 16 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{3}{2}\\y =  - 1\\z =  - 2\end{array} \right.$

$\Rightarrow I\left( {\dfrac{3}{2}; - 1;2} \right)$. Suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OABC$ là $R = IO = \sqrt {\dfrac{9}{4} + 1 + 4}  = \sqrt {\dfrac{{29}}{4}}$.

Váy diện tích cầu ngoại tiếp tứ diện $OABC$ là $S = 4\pi {R^2} = 4\pi .\dfrac{{29}}{4} = 29\pi .$

Gọi $M$ là trung điểm của $AB \Rightarrow M\left( { - 1;2;2} \right)$.

Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng trung trực của $AB$, khi đó $\left( P \right)$ đi qua $M$ và có 1 VTPT là $\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} \left( {2;2; - 3} \right)$.

$\Rightarrow$ Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là: $2\left( {x + 1} \right) + 2\left( {y - 2} \right) - 3\left( {z - 2} \right) = 0$ $\Leftrightarrow 2x + 2y - 3z + 4 = 0$.

Vì $I$ là tâm mặt cầu $\left( S \right)$ đi qua 2 điểm $A,\,\,B$ nên $I \in \left( P \right)$.

Mà $I \in \left( d \right) \Rightarrow I\left( {4 + 2t;\,\,t;\,\, - 3 - t} \right)$.

$I \in \left( P \right) \Rightarrow 2\left( {4 + 2t} \right) + 2t - 3\left( { - 3 - t} \right) + 4 = 0$ $\Leftrightarrow t =  - \dfrac{7}{3}$.

$\Rightarrow I\left( { - \dfrac{2}{3}; - \dfrac{7}{3}; - \dfrac{2}{3}} \right)$.

Vậy bán kính mặt cầu là $R = IA = \sqrt {{{\left( { - 3 + \dfrac{2}{3}} \right)}^2} + {{\left( {0 + \dfrac{7}{3}} \right)}^2} + {{\left( {5 + \dfrac{2}{3}} \right)}^2}}  = \sqrt {43}$.

Mặt cầu $\left( S \right):\,\,{\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = 16$ có tâm $I\left( {3;0; - 5} \right)$.

Ta có mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {0; - 2;1} \right)$ và bán kính bằng $2$ nên $\left( S \right):{x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 4$

Mặt cầu $\left( S \right):\,\,\,{x^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 16$ có bán kính $R = 4$.

Mặt cầu $\left( S \right):\,\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x + 4y + 2z - 4 = 0$ có bán kính $R = \sqrt {{4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} - \left( { - 4} \right)}  = \sqrt {25}  = 5.$

Tọa độ tâm của mặt cầu là $I\left( {1; - 2;3} \right) \Rightarrow a + b + c = 1 - 2 + 3 = 2$.

Phương trình có dạng $(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by$$+ 2cz + d = 0$ với $a =  - 1,b = 2,c = 1,d =  - 3$.

Ta có công thức

$R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d}$$= \sqrt {{{( - 1)}^2} + {2^2} + {1^2} - ( - 3)}$$= 3$ 

Phương trình có dạng ${(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}$ với $a = 1,b =  - 2,c = 4$ và $R = 2\sqrt 5$

có tâm $I\left( {1; - 2;4} \right)$.

Phương trình có dạng $(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0$ với $a =  - 4,b = 1,c = 0,d = 1$   

có tâm $I( - a, - b, - c) = (4, - 1,0)$

có $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d}  = \sqrt {{{( - 4)}^2} + {1^2} + {0^2} - 1}  = 4$