Trong không gian \(Oxyz\), cho\(A\left( {2;0;4} \right)\) và \(B\left( {0; - 6;0} \right)\), M là điểm bất kì thỏa mãn \(3M{A^2} + 2M{B^2} = \dfrac{{561}}{{280}}A{B^2}\). Khi đó M thuộc mặt cầu có bán kính là giá trị nào dưới đây?

Xét điểm \(I\left( {x;y;z} \right)\) thỏa mãn \(3\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0 \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3\left( {2 - x} \right) + 2\left( {0 - x} \right) = 0\\3\left( {0 - y} \right) + 2\left( { - 6 - y} \right) = 0\\3\left( {4 - z} \right) + 2\left( {0 - z} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{6}{5}\\y =  - \dfrac{{12}}{5}\\z = \dfrac{{12}}{5}\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow I\left( {\dfrac{6}{5}; - \dfrac{{12}}{5};\dfrac{{12}}{5}} \right)\).

Mà \(A{B^2} = {2^2} + {6^2} = {4^2} = 56\).

Xét

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,3M{A^2} + 2M{B^2} = \dfrac{{561}}{5}\\ \Leftrightarrow 3{\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + 2{\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right)^2} = \dfrac{{561}}{5}\\ \Leftrightarrow 3\left( {M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IA}  + I{A^2}} \right) + 2\left( {M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IB}  + I{B^2}} \right) = \dfrac{{561}}{5}\\ \Leftrightarrow 5M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {3\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB} } \right) + 3I{A^2} + 2I{B^2} = \dfrac{{561}}{5}\\ \Leftrightarrow 5M{I^2} + \dfrac{{672}}{{25}} + \dfrac{{1008}}{{25}} = \dfrac{{561}}{5}\\ \Leftrightarrow M{I^2} = 9 \Leftrightarrow MI = 3.\end{array}\)

Vậy M luôn chạy trên mặt cầu tâm \(I\left( {\dfrac{6}{5}; - \dfrac{{12}}{5};\dfrac{{12}}{5}} \right)\), bán kính R = MI = 3.