Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho các phương trình sau, phương trình nào không phải là phương trình của mặt cầu?
Phương trình đáp án B có dạng \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\) với \(a = - 1,b = 2,c = 1\) và \(R = 3\) là phương trình mặt cầu.
Phương trình đáp án A có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) với \(a = - 1,b = - 1,c = - 1,d = - 8\) có \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = \sqrt {11} \) là một phương trình mặt cầu.
Xét phương án C có
\(2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 4x + 2y + 2z + 16 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + y + z + 8 = 0\).
Phương trình có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) với \(a = 1,b = - \dfrac{1}{2},c = - \dfrac{1}{2},d = 8\) có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 1 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} - 8 < 0.\)
Không phải là phương trình mặt cầu.
Mặt cầu tâm \(I\left( {0;0;1} \right)\) bán kính \(R = \sqrt 2 \) có phương trình:
Mặt cầu tâm \(I\left( {0;0;1} \right)\) bán kính \(R = \sqrt 2 \) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = 2\)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tìm tập tất cả giá trị của tham số \(m\) để mặt cầu $\left( S \right)$ có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2my - 4z + m + 5 = 0\) đi qua điểm $A\left( {1;1;1} \right)$.
$\left( S \right)$ có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) với \(a = -1,b = m,c = -2\) và \(d = m + 5\).
$\left( S \right)$ là phương trình mặt cầu khi ta có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0 \Leftrightarrow 5 + {m^2} - (m + 5) > 0 \Leftrightarrow {m^2} - m > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 1}\\{m < 0}\end{array}} \right.\)
Điểm $A\left( {1,1,1} \right)$ thuộc phương trình mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2my - 4z + m + 5 = 0\) thì ta có
\({1^2} + {1^2} + {1^2} - 2.1 + 2m.1 - 4.1 + m + 5 = 0 \Leftrightarrow 2 + 3m = 0 \Leftrightarrow m = - \dfrac{2}{3}\) (thỏa mãn)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 4z + m = 0\) là phương trình của một mặt cầu.
$\left( S \right)$ có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) với \(a = - 1,b = - 1,c = - 2\) và \(d = m\).
$\left( S \right)$ là phương trình mặt cầu khi ta có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0 \Leftrightarrow 6 - m > 0 \Leftrightarrow m < 6\)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1,2, - 3} \right)$ và đi qua điểm $A\left( {1,0,4} \right)$ có phương trình là
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1,2, - 3} \right)$ và đi qua điểm $A\left( {1,0,4} \right)$ có bán kính \(R = IA = \sqrt {{{(1 - 1)}^2} + {{(0 - 2)}^2} + {{(4 + 3)}^2}} = \sqrt {53} \)
Do đó \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 3)^2} = 53.\)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $M\left( {1; - 2;3} \right)$. Gọi $I$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên trục $Ox$. Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu tâm $I$, bán kính $IM$?
I là hình chiếu vuông góc của $M\left( {1, - 2,3} \right)$ trên trục $Ox$. Suy ra $I\left( {1,0,0} \right)$.
Ta có \(\overrightarrow {IM} = (0, - 2,3) \Rightarrow R = IM = \sqrt {{2^2} + {3^2}} = \sqrt {13} \).
Suy ra phương trình mặt cầu: \({(x - 1)^2} + {y^2} + {z^2} = 13\).
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng \(d:\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y - 1}}{2} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 1}}\) và điểm $A\left( {5,4, - 2} \right)$. Phương trình mặt cầu đi qua điểm $A$ và có tâm là giao điểm của $d$ với mặt phẳng $(Oxy)$ là
Giả sử $M$ là giao điểm của $d$ với mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$.
Viết phương trình đường thẳng $d$ dưới dạng tham số \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}&{}\\{y = 1 + 2t}&{}\\{z = - 1 - t}&{}\end{array}} \right.\)
Ta có $M$ thuộc $d$ nên $M\left( {t,2t + 1, - t - 1} \right)$ .
Vì M thuộc $\left( {Oxy} \right):z = 0$ nên có $ - t - 1 = 0$ hay $t = - 1$, suy ra $M\left( { - 1, - 1,0} \right)$.
Phương trình mặt cầu cần tìm có tâm $M\left( { - 1, - 1,0} \right)$, bán kính \(MA = \sqrt {{{(5 + 1)}^2} + {{(4 + 1)}^2} + {{( - 2 - 0)}^2}} = \sqrt {65} \)
Trong không gian $Oxyz$ cho hai điểm $A\left( { - 3,1,2} \right),{\rm{ }}B\left( {1, - 1,0} \right)$. Phương trình mặt cầu nhận $AB$ làm đường kính có tọa độ tâm là:
Mặt cầu nhận $AB$ làm đường kính có tọa độ tâm $I$ là trung điểm của $AB$. Suy ra ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_I} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\\{z_I} = \dfrac{{{z_A} + {z_B}}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = - 1\\{y_I} = 0\\{z_I} = 1\end{array} \right.\)
Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc $Oxyz$, cho hai điểm $E\left( {2,1,1} \right),{\rm{ }}F\left( {0,3, - 1} \right)$. Mặt cầu $\left( S \right)$ đường kính $EF$ có phương trình là:
Ta có \(EF = \sqrt {{{(2 - 0)}^2} + {{(1 - 3)}^2} + {{(1 + 1)}^2}} = 2\sqrt 3 \) .
Mặt cầu $(S)$ đường kính $EF $ nhận trung điểm $I$ của $EF$ là tâm, có $I\left( {1,2,0} \right)$ và bán kính \(R = \dfrac{1}{2}EF = \sqrt 3 \).
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A\left( {1,2, - 4} \right);{\rm{ }}B\left( {1, - 3,1} \right){\rm{ }} và {\rm{ }}C\left( {2,2,3} \right)$. Mặt cầu $(S) $ đi qua $A,B,C$ và có tâm thuộc mặt phẳng $(xOy) $ có bán kính là :
Tâm $I$ thuộc mặt phẳng $\left( {xOy} \right):z = 0$ nên ta có $z = 0$ . Suy ra, giả sử $I\left( {x,y,0} \right)$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ qua $A,B,C$ nên ta có \(IA = IB = IC = R\)
Ta có
\(\left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2}\\I{B^2} = I{C^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(4)^2} = {(x - 1)^2} + {(y + 3)^2} + {( - 1)^2}\\{(x - 1)^2} + {(y + 3)^2} + {( - 1)^2} = {(x - 2)^2} + {(y - 2)^2} + {(3)^2}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4y + 4 + 16 = 6y + 9 + 1\\ - 2x + 1 + 6y + 9 + 1 = - 4x + 4 - 4y + 4 + 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 10y = - 10\\2x + 10y = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\x = - 2\end{array} \right.\).
Vậy $I\left( { - 2,1,0} \right)$.
Có \(IA = \sqrt {26} = R\)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu đi qua ba điểm $M\left( {2;3;3} \right),{\rm{ }}N\left( {2; - 1; - 1} \right),{\rm{ }}P\left( { - 2; - 1;3} \right)$ và có tâm thuộc mặt phẳng \((\alpha ):2x + 3y - z + 2 = 0\).
- Liệt kê các phương trình mặt cầu cho trong 4 đáp án
+ A cho mặt cầu tâm \({I_A}(1, - 1,1)\) và \({R_A} = \sqrt {13} \)
+ B cho mặt cầu tâm \({I_B}(2, - 1,3)\) và \({R_B} = 4\)
+ C cho mặt cầu tâm \({I_C}( - 2,1, - 3)\) và \({R_C} = 2\sqrt 3 \)
+ D cho mặt cầu tâm \({I_D}(1, - 1,1)\) và \({R_D} = \sqrt 5 \)
- Kiểm tra các tâm có thuộc mặt phẳng \((\alpha )\) hay không. Loại được đáp án C.
- Ta thấy\({I_A} \equiv {I_D} = I(1, - 1,1)\), nên ta tính bán kính $R = IM$ rồi so sánh với \({R_A},{R_D}\) .
Có \(IM = \sqrt {{1^2} + {4^2} + {2^2}} = \sqrt {21} \) . Ta thấy \(IM \ne {R_A} \ne {R_D}\). Loại A và D
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A\left( {2,4, - 1} \right),{\rm{ }}B\left( {0, - 2,1} \right)$ và đường thẳng $d$ có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 - t\\z = 1 + t\end{array} \right.\). Gọi $\left( S \right)$ là mặt cầu đi qua $A,B$ và có tâm thuộc đường thẳng $d$. Đường kính mặt cầu $\left( S \right)$ là
Giả sử tâm $I$ của mặt cầu $\left( S \right)$ thuộc $d$, ta có $I\left( {1 + 2t,2 - t,1 + t} \right)$. Vì mặt cầu $\left( S \right)$ qua $A$ và $B$ nên ta có $IA = IB = R$ .
Từ giả thiết $IA = IB$ ta có \(I{A^2} = I{B^2}\)
\( \Leftrightarrow {(2t - 1)^2} + {(t + 2)^2} + {(2 + t)^2} = {(1 + 2t)^2} + {(4 - t)^2} + {t^2}\)
\( \Leftrightarrow - 4t + 4t + 4 + 4t + 4 = 4t - 8t + 16\)
\( \Leftrightarrow 8t = 8\)
\( \Leftrightarrow t = 1\)
Suy ra $I\left( {3,1,2} \right)$ . Do đó \(R = IA = \sqrt {9 + 9 + 1} = \sqrt {19} \)
Do đó, đường kính mặt cầu là \(2R = 2\sqrt {19} \)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A\left( {2,1, - 1} \right)$ và $B\left( {1,0,1} \right)$. Mặt cầu đi qua hai điểm $A,B$ và có tâm thuộc trục Oy có đường kính là
Giả sử tâm $I$ của mặt cầu $(S)$ thuộc $Oy$, ta có $I\left( {0,t,0} \right)$. Vì mặt cầu $(S)$ qua $A$ và $B$ nên ta có $IA = IB = R$ .
Từ giả thiết $IA = IB$ ta có \(I{A^2} = I{B^2}\)
\( \Leftrightarrow {2^2} + {(t - 1)^2} + {( - 1)^2} = {1^2} + {t^2} + {1^2}\)
\( \Leftrightarrow - 2t + 4 = 0\)
\( \Leftrightarrow t = 2\)
Suy ra $I\left( {0,2,0} \right)$ . Do đó \(R = IA = \sqrt 6 \)
Do đó, đường kính mặt cầu là \(2R = 2\sqrt 6 \)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ có tọa độ các đỉnh là $A\left( {1,1,1} \right),{\rm{ }}B\left( {1,2,1} \right),{\rm{ }}C\left( {1,1,2} \right)$ và $D\left( {2,2,1} \right)$. Khi đó mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$ có phương trình là
- Thử từng tọa độ các điểm $A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C,{\rm{ }}D$ vào các phương trình cho trong các đáp án A,B,C,D
+ Thay $A\left( {1,1,1} \right)$ vào phương trình cho ở đáp án A có
\({1^2} + {1^2} + {1^2} - 3 - 3 - 3 - 6 \ne 0\)
Loại A
Thay $A\left( {1,1,1} \right)$ vào phương trình cho ở đáp án B có
\({1^2} + {1^2} + {1^2} - 3 - 3 - 3 + 6 = 0\)
Thay $B\left( {1,2,1} \right)$ vào phương trình cho ở đáp án B có
\({1^2} + {2^2} + {1^2} - 3 - 6 - 3 + 6 = 0\)
Thay $C\left( {1,1,2} \right)$ vào phương trình cho ở đáp án B có
\({1^2} + {1^2} + {2^2} - 3 - 3 - 6 + 6 = 0\)
Thay $D\left( {2,2,1} \right)$ vào phương trình cho ở đáp án B có
\({2^2} + {2^2} + {1^2} - 6 - 6 - 3 + 6 = 0\)
Vậy A,B,C,D thỏa mãn phương trình cho ở đáp án B.
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mặt cầu $\left( S \right)$ có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4mx + 4y + 2mz + {m^2} + 4m = 0\) có bán kính nhỏ nhất khi \(m\) bằng
S) có tâm $I\left( {2m, - 2, - m} \right)$ .
Bán kính \(R = \sqrt {4{m^2} + 4 + {m^2} - {m^2} - 4m} = \sqrt {4{m^2} - 4m + 4} = \sqrt {{{(2m - 1)}^2} + 3} \ge \sqrt 3 \)
Dấu = xảy ra khi \(2m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}\)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{x + 4y - 4z - m = 0}}$ có bán kính $R = 5$. Tìm giá trị của $m$?
Ta có: $I(1; - 2;2),R = \sqrt {{1^2} + {{( - 2)}^2} + {2^2} + m} = \sqrt {9 + m} $
Ta có: $R = 5 \Leftrightarrow \sqrt {9 + m} = 5 \Leftrightarrow m = 16$
Cho mặt cầu ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = 16$ và điểm $A\left( {1;2; - 1} \right)$. Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc mặt cầu sao cho độ dài đoạn $AM$ là lớn nhất.
Tâm $I\left( {1;2; - 5} \right)$
Ta có \(\overrightarrow {AI} = (0;0; - 4) = \overrightarrow {IM} = (a - 1;b - 2;b + 5) \Rightarrow M(1;2; - 9)\)
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 1 = 0\). Tính diện tích của mặt cầu \(\left( S \right)\).
Mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 1 = 0\) có bán kính \(R = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {0^2} - 1} = 2\).
Vậy diện tích của mặt cầu \(\left( S \right)\) là: \(4\pi {.2^2} = 16\pi \).
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1;2;3} \right),\)\(B\left( {4; - 7; - 9} \right)\), tập hợp các điểm \(M\) thỏa mãn \(2M{A^2} + M{B^2} = 165\) là mặt cầu có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính \(R\). Giá trị biểu thức \(T = {a^2} + {b^2} + {c^2} + {R^2}\) bằng:
Gọi \(M\left( {x;y;z} \right)\).
Theo bài ra ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,2M{A^2} + M{B^2} = 165\\ \Leftrightarrow 2\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2} + {{\left( {z - 3} \right)}^2}} \right] + \left[ {{{\left( {x - 4} \right)}^2} + {{\left( {y + 7} \right)}^2} + {{\left( {z + 9} \right)}^2}} \right] = 165\\ \Leftrightarrow 3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} - 12x + 6y + 6z + 9 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y + 2z + 3 = 0\end{array}\)
Do đó tập hợp các điểm \(M\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là mặt cầu tâm \(I\left( {2; - 1; - 1} \right)\) \( \Rightarrow a = 2,\,\,b = - 1,\,\,c = - 1\) , bán kính \(R = \sqrt {4 + 1 + 1 - 3} = \sqrt 3 \).
Vậy \(T = {a^2} + {b^2} + {c^2} + {R^2} = 4 + 1 + 1 + 3 = 9\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu có phương trình \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 9\). Gọi \(I\) là tâm mặt cầu, tọa độ hình chiếu vuông góc của \(I\) lên trục \(Oz\) là:
Mặt cầu \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 9\) có tâm \(I\left( {2; - 1; - 2} \right)\).
Hình chiếu của \(I\left( {2; - 1; - 2} \right)\) lên trục \(Oz\) là \(I'\left( {0;0; - 2} \right)\).
