Câu hỏi:
2 năm trước
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\) thuộc đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{{x - 4}}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z + 3}}{{ - 1}}\) và \(\left( S \right)\) đi qua hai điểm \(A\left( { - 3;0;5} \right)\) và \(B\left( {1;4; - 1} \right)\). Khi đó bán kính mặt cầu \(\left( S \right)\) là giá trị nào dưới đây?
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow M\left( { - 1;2;2} \right)\).
Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng trung trực của \(AB\), khi đó \(\left( P \right)\) đi qua \(M\) và có 1 VTPT là \(\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} \left( {2;2; - 3} \right)\).
\( \Rightarrow \) Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là: \(2\left( {x + 1} \right) + 2\left( {y - 2} \right) - 3\left( {z - 2} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 2x + 2y - 3z + 4 = 0\).
Vì \(I\) là tâm mặt cầu \(\left( S \right)\) đi qua 2 điểm \(A,\,\,B\) nên \(I \in \left( P \right)\).
Mà \(I \in \left( d \right) \Rightarrow I\left( {4 + 2t;\,\,t;\,\, - 3 - t} \right)\).
\(I \in \left( P \right) \Rightarrow 2\left( {4 + 2t} \right) + 2t - 3\left( { - 3 - t} \right) + 4 = 0\) \( \Leftrightarrow t = - \dfrac{7}{3}\).
\( \Rightarrow I\left( { - \dfrac{2}{3}; - \dfrac{7}{3}; - \dfrac{2}{3}} \right)\).
Vậy bán kính mặt cầu là \(R = IA = \sqrt {{{\left( { - 3 + \dfrac{2}{3}} \right)}^2} + {{\left( {0 + \dfrac{7}{3}} \right)}^2} + {{\left( {5 + \dfrac{2}{3}} \right)}^2}} = \sqrt {43} \).
Hướng dẫn giải:
- Vì \(I\) là tâm mặt cầu \(\left( S \right)\) đi qua 2 điểm \(A,\,\,B\) nên \(I \in \left( P \right)\) là mặt phẳng trung trực của \(AB\).
- Mặt phẳng trung trực của \(AB\) là mặt phẳng đi qua trung điểm của \(AB\) và nhận \(\overrightarrow {AB} \) là 1 VTPT.
- Tham số hóa tọa độ điểm \(I \in d\) theo tham số \(t\).
- Thay tọa độ điểm \(I\) vào mặt phẳng \(\left( P \right)\) tìm \(t\), từ đó suy ra tọa độ điểm \(I\).
- Tính bán kính mặt cầu \(R = IA = \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_I}} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} - {y_I}} \right)}^2} + {{\left( {{z_A} - {z_I}} \right)}^2}} \).
