Câu hỏi:
2 năm trước
Trong không gian Oxyz, cho điểm \(A\left( {3;0;0} \right),\) \(B\left( {0; - 2;0} \right)\) và \(C\left( {0;0; - 4} \right)\). Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có diện tích bằng
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
Gọi \(I\left( {a;b;c} \right)\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(OABC\) \( \Rightarrow IO = IA = IB = IC\)\( \Rightarrow I{O^2} = I{A^2} = I{B^2} = I{C^2}\).
Khi đó ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} = {\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} + {z^2}\\{x^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {z^2}\\{x^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2} + {y^2} + {\left( {z + 4} \right)^2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = {\left( {x - 3} \right)^2}\\{y^2} = {\left( {y + 2} \right)^2}\\{z^2} = {\left( {z + 4} \right)^2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 6x + 9 = 0\\4y + 4 = 0\\8z + 16 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{3}{2}\\y = - 1\\z = - 2\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow I\left( {\dfrac{3}{2}; - 1;2} \right)\). Suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(OABC\) là \(R = IO = \sqrt {\dfrac{9}{4} + 1 + 4} = \sqrt {\dfrac{{29}}{4}} \).
Váy diện tích cầu ngoại tiếp tứ diện \(OABC\) là \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi .\dfrac{{29}}{4} = 29\pi .\)
Hướng dẫn giải:
- Gọi \(I\left( {a;b;c} \right)\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(OABC\) \( \Rightarrow IO = IA = IB = IC\).
- Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}I{O^2} = I{A^2}\\I{O^2} = I{B^2}\\I{O^2} = I{C^2}\end{array} \right.\) tìm tọa độ điểm \(I\).
- Tính bán kính mặt cầu \(R = OI\).
- Diện tích mặt cầu bán kính \(R\) là \(S = 4\pi {R^2}\).
