Câu hỏi:
2 năm trước
Trong không gian \(Oxyz\), viết phương trình chính tắc của mặt cầu \((S)\), biết rằng \((S)\) có một đường kính là \(MN\) với \(M\left( {2;5;6} \right)\) và \(N\left( {0; - 1;2} \right)\).
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Gọi \(I\) là trung điểm của \(MN \Rightarrow I\left( {1;2;4} \right)\), và \(I\) chính là tâm mặt cầu đường kính \(MN\).
Bán kính mặt cầu đường kính \(MN\) là \(R = \dfrac{{MN}}{2} = \dfrac{{\sqrt {{2^2} + {6^2} + {4^2}} }}{2} = \sqrt {14} .\)
Vậy phương trình mặt cầu tâm \(I\), bán kính \(R = \sqrt {14} \) là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 14\).
Hướng dẫn giải:
- Mặt cầu có đường kính \(MN\) có tâm là trung điểm của \(MN\), bán kính \(R = \dfrac{{MN}}{2}\).
- Tọa độ trung điểm của \(MN\) là \(I\left( {\dfrac{{{x_M} + {x_N}}}{2};\dfrac{{{y_M} + {y_N}}}{2};\dfrac{{{z_M} + {z_N}}}{2}} \right)\).
- Tính độ dài đoạn thẳng \(MN = \sqrt {{{\left( {{x_N} - {x_M}} \right)}^2} + {{\left( {{y_N} - {y_M}} \right)}^2} + {{\left( {{z_N} - {z_M}} \right)}^2}} \).
- Phương trình mặt cầu có tâm \(I\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\), bán kính \(R\) là: \({\left( {x - {x_0}} \right)^2} + {\left( {y - {y_0}} \right)^2} + {\left( {z - {z_0}} \right)^2} = {R^2}\) .
