Hệ tọa độ trong không gian (tọa độ véc tơ)

Ta có: $\overrightarrow {OA}  = \left( { - 1;2; - 3} \right),\overrightarrow {OB}  = \left( {2; - 1;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  = \left( {1;1; - 3} \right)$.

Ta có: $k\overrightarrow u  = \left( {kx;ky;kz} \right)$

Ta có: $\vec k = \left( {0;0;1} \right) \Rightarrow \vec c =  - 9\vec k = \left( {0;0; - 9} \right)$

Ta có: $\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}}  = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}$.

Ta có: $m = \overrightarrow u .\overrightarrow v  =  - 2.1 + 3.1 + 1.1 = 2 \Rightarrow m \in \left( {1;3} \right)$.

Ta có: $\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{{\overrightarrow u }^2}}  = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}$

$\vec n = 3\left( {2;3; - 5} \right) + 2\left( {0; - 3;4} \right) - \left( {1; - 2;3} \right) = \left( {5;5; - 10} \right)$

$\overrightarrow {{u_1}}  \bot \overrightarrow {{u_2}}  \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right) = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}}  = 0 \Leftrightarrow {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2} = 0$

Ta có: $\overrightarrow u  \bot \overrightarrow v  \Leftrightarrow \overrightarrow u .\overrightarrow v  = 2.0 + 1.b + \left( { - 3} \right).1 = 0 \Leftrightarrow b = 3$.

Cô sin của góc hợp bởi hai véc tơ $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}}$ là: $\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right) = \dfrac{{\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} }}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = \dfrac{{{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}}}{{\sqrt {x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} .\sqrt {x_2^2 + y_2^2 + z_2^2} }}$

Ta có:

$\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \dfrac{{ - 1.2 - 1.1 - 1.0}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {1^2} + {0^2}} }}$ 

$=  - \dfrac{3}{{\sqrt {15} }} =  - \dfrac{{3\sqrt {15} }}{{15}} =  - \dfrac{{\sqrt {15} }}{5}$

Điểm $A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)$ có $\overrightarrow {AB}  = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A}} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {AB}  = \left( { - 4;0;4} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {0^2} + {4^2}}  = 4\sqrt 2$

Cho hai điểm $A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)$, khi đó độ dài đoạn thẳng $AB$ được tính theo công thức: $AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}}$

Ta có: $AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}}$

$= \sqrt {{{\left( {4 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - 0} \right)}^2}}  = \sqrt 9  = 3$

Do đó độ dài đoạn thẳng là một số nguyên dương.

Góc giữa $\overrightarrow u ;\overrightarrow v$ bằng ${45^0}$ khi $\cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right) =\cos 45^0$

Mà $\cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right) = \dfrac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \cos {45^0} = \dfrac{{1.1 + 1.0 - 2.m}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {m^2}} }}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{1 - 2m}}{{\sqrt 6 .\sqrt {1 + {m^2}} }} \Leftrightarrow \sqrt {6\left( {1 + {m^2}} \right)}  = \sqrt 2 \left( {1 - 2m} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6\left( {1 + {m^2}} \right) = 2{\left( {1 - 2m} \right)^2}\\1 - 2m \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6 + 6{m^2} = 2\left( {1 - 4m + 4{m^2}} \right)\\m \le \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6 + 6{m^2} = 2 - 8m + 8{m^2}\\m \le \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{m^2} - 8m - 4 = 0\\m \le \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2 \pm \sqrt 6 \\m \le \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2 - \sqrt 6 \end{array}$

Ta có AD // B’C’, AD = B’C’ nên AB’C’D là hình bình hành, do đó AB’ // DC’ và AB’ = DC’.

$\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {AB'}  = \overrightarrow {DC'} \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - 0 = 1 - {x_D}\\0 - 0 = 1 - {y_D}\\0 - 1 = 0 - {z_D}\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 0\\{y_D} = 1\\{z_D} = 1\end{array} \right.\end{array}$

Vậy $D\left( {0;1;1} \right)$.

Bước 1: Tính độ dài cạnh AB, BC, CA.

Ta có:

$\begin{array}{l}AB = \sqrt {{1^2} + {0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}}  = \sqrt 2 \\BC = \sqrt {{0^2} + {1^2} + {0^2}}  = 1\\CA = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}}  = \sqrt 3 \end{array}$

$\Rightarrow \Delta ABC$ là tam giác vuông tại B.

Bước 2: Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Ta có $R = \dfrac{{AC}}{2} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$