Câu hỏi:
2 năm trước
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm \(A\left( {2;0;0} \right);\,\,B\left( {0;4;0} \right);\,\,C\left( {0;0;6} \right)\). Điểm M thay đổi trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và điểm N là điểm trên tia OM sao cho \(OM.ON = 12\). Biết rằng khi M thay đổi, điểm N luôn thuộc một mặt cầu cố định. Tìm bán kính của mặt cầu đó?
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Gọi điểm \(N\left( {x;y;z} \right)\).
Ta có O, M, N thẳng hàng \( \Rightarrow OM.ON = \overrightarrow {OM} .\overrightarrow {ON} = 12\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {OM} = \dfrac{{12}}{{\overrightarrow {ON} }} = \dfrac{{12}}{{O{N^2}}}.\overrightarrow {ON} = \dfrac{{12}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}\left( {x;y;z} \right)\\ \Rightarrow M\left( {\dfrac{{12x}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}};\dfrac{{12y}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}};\dfrac{{12z}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}} \right)\end{array}\)
Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có phương trình \(\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{4} + \dfrac{z}{6} = 1 \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 12 = 0\)
Do \(M \in \left( {ABC} \right)\) nên thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng (ABC) ta có:
\(\begin{array}{l}6\dfrac{{12x}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}} + 3\dfrac{{12y}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}} + 2\dfrac{{12z}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}} - 12 = 0\\ \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - \left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x - 3y - 2z = 0\end{array}\)
Vậy khi M thay đổi trên \(\left( {ABC} \right)\) thì N luôn thuộc mặt cầu tâm \(I\left( {3;\dfrac{3}{2};1} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {9 + \dfrac{9}{4} + 1} = \dfrac{7}{2}\).
Hướng dẫn giải:
+) Gọi điểm \(N\left( {x;y;z} \right)\).
+) Ta có O, M, N thẳng hàng \( \Rightarrow OM.ON = \overrightarrow {OM} .\overrightarrow {ON} = 12\)
+) Tìm tọa độ điểm M theo x, y, z, viết phương trình mặt phẳng (ABC) dạng đoạn chắn.
+) \(M \in \left( {ABC} \right)\), rút ra phương trình mặt cầu.
