Câu hỏi:
2 năm trước
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: $\dfrac{{x - 13}}{{ - 1}} = \dfrac{{y + 1}}{1} = \dfrac{z}{4}$ và mặt cầu $(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z - 67 = 0$. Qua d dựng các mặt phẳng tiếp xúc với (S) lần lượt tại ${T_1},\,\,{T_2}$. Tìm tọa độ trung điểm H của ${T_1}{T_2}$.
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
$(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z - 67 = 0$ có tâm $I\left( {1;2;3} \right)$, bán kính $R = 9$.
Gọi $M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên đường thẳng $d$.
+) Tìm tọa độ điểm M:
Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$qua I vuông góc d có phương trình:
$\begin{array}{l} - 1\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 2} \right) + 4\left( {z - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow - x + y + 4z - 13 = 0\\M \in d \Rightarrow M\left( {13 - t; - 1 + t;4t} \right)\\M \in \left( \alpha \right) \Rightarrow - \left( {13 - t} \right) + \left( { - 1 + t} \right) + 4.4t - 13 = 0 \Leftrightarrow 18t - 27 = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{3}{2}\\ \Rightarrow M\left( {\dfrac{{23}}{2};\dfrac{1}{2};6} \right) \Rightarrow IM = \dfrac{{9\sqrt 6 }}{2}\end{array}$
* Xét mặt phẳng qua I và vuông góc $d$:
H là trung điểm của ${T_1}{T_2} \Rightarrow $$H = {T_1}{T_2} \cap IM$
Khi đó, $IH = \dfrac{{{R^2}}}{{IM}} = \dfrac{{81}}{{\dfrac{{9\sqrt 6 }}{2}}} = 3\sqrt 6 \Rightarrow \dfrac{{IH}}{{IM}} = \dfrac{{3\sqrt 6 }}{{\dfrac{{9\sqrt 6 }}{2}}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow \overrightarrow {IH} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {IM} $
Ta có: $\overrightarrow {IH} = \left( {{x_H} - 1;{y_H} - 2;{z_H} - 3} \right);\,\,\,\,\overrightarrow {IM} = \left( {\dfrac{{21}}{2}; - \dfrac{3}{2};3} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_H} = 8\\{y_H} = 1\\{z_H} = 5\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {8;1;5} \right)$
Hướng dẫn giải:
- Tìm tọa độ hình chiếu \(M\) của tâm \(I\) lên \(d\).
- Tìm tọa độ điểm \(H\) là giao điểm của \(T_1T_2\) với \(IM\) bằng phương pháp véc tơ.
