Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: $\dfrac{{x - 13}}{{ - 1}} = \dfrac{{y + 1}}{1} = \dfrac{z}{4}$ và mặt cầu $(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z - 67 = 0$. Qua d dựng các mặt phẳng tiếp xúc với (S) lần lượt tại ${T_1},\,\,{T_2}$. Tìm tọa độ trung điểm H của ${T_1}{T_2}$.

Trong không gian Oxyz, cho 2 điểm $A\left( {1;2; - 3} \right),\,M\left( { - 2; - 2;1} \right)$ và đường thẳng $d:\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y - 5}}{2} = \dfrac{z}{{ - 1}}$. $\Delta$ là đường thẳng đi qua M và vuông góc với đường thẳng d đồng thời cách A một khoảng lớn nhất, khi đó  $\Delta$ đi qua điểm nào trong các điểm sau:

Trong không gian Oxyz, cho $M\left( { - 1;3;4} \right)$, mặt phẳng (P) đi qua M cắt các trục Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C sao cho M là trực tâm $\Delta ABC$. Thể tích khối tứ diện OABC bằng

Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm $A\left( {0;1;1} \right),\,B\left( {3;0; - 1} \right),\,C\left( {0;21; - 19} \right)$ và mặt cầu $\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 1$. Điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho tổng $3M{A^2} + 2M{B^2} + M{C^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó, độ dài vectơ $\overrightarrow {OM}$ là

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x + 4y - 2z + 5 = 0$. Phương trình mặt phẳng $(Q)$chứa trục Ox và cắt $(S)$ theo giao tuyến là một đường tròn bán kính bằng 2 là

Cho ba tia Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau. Gọi C là điểm cố định trên Oz, đặt OC = 1, các điểm A, B thay đổi trên Ox, Oy sao cho $OA + OB = OC$. Giá trị bé nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là

Trong không gian Oxyz cho $A( - 4;7;5)$ và hai đường thẳng ${d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 3t\\z =  - 2 + t\end{array} \right.$; ${d_2}:\dfrac{{x + 1}}{3} = \dfrac{{y - 2}}{4} = z - 1$. Đường thẳng d đi qua A đồng thời cắt ${d_1},\,\,{d_2}$có phương trình là:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {1;0;3} \right),B\left( {11; - 5; - 12} \right)$. Điểm $M\left( {a;b;c} \right)$ thuộc mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ sao cho $3M{A^2} + 2M{B^2}$ nhỏ nhất. Tính $P = a + b + c$