Câu hỏi:
2 năm trước
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x - 2y + 2z + 1 = 0\); \(\left( Q \right):\,\,x - 2y + 2z - 8 = 0;\,\,\left( R \right):\,\,x - 2y + 2z + 4 = 0.\) Một đường thẳng \(\Delta \) thay đổi cắt ba mặt phẳng \(\left( P \right);\,\,\left( Q \right);\,\,\left( R \right)\) lần lượt tại các điểm A, B, C. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(AB + \dfrac{{96}}{{A{C^2}}}\) là:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Nhận xét \(\left( P \right)//\left( Q \right)//\left( R \right)\) và (P) nằm giữa (Q) và (R).
Ta có \(BH = d\left( {\left( Q \right);\left( P \right)} \right) = 9;\,\,HK = d\left( {\left( P \right);\left( R \right)} \right) = 3\)
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{BH}}{{HK}} = 3\).
Áp dụng BĐT Cauchy ta có :
\(\begin{array}{l}AB + \dfrac{{96}}{{A{C^2}}} = \dfrac{{AB}}{2} + \dfrac{{AB}}{2} + \dfrac{{96}}{{A{C^2}}}\mathop \ge \limits^{Cauchy} 3\sqrt[3]{{\dfrac{{AB}}{2}.\dfrac{{AB}}{2}.\dfrac{{96}}{{A{C^2}}}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3.\sqrt[3]{{24.{{\left( {\dfrac{{AB}}{{AC}}} \right)}^2}}} = 3.\sqrt[3]{{24.9}} = 18\end{array}\)
Hướng dẫn giải:
Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm
