Câu hỏi:
2 năm trước
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\dfrac{{x - 2}}{{ - 1}} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z}{1}\) và \({d_2}:\dfrac{x}{{ - 2}} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{{z - 2}}{1}.\) Phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\) là:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Ta có \({d_1}:\dfrac{{x - 2}}{{ - 1}} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z}{1} \Rightarrow vtcp\,\,\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 1;1;1} \right)\)
\({d_2}:\dfrac{x}{{ - 2}} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{{z - 2}}{1}. \Rightarrow vtcp\,\,\overrightarrow {{u_2}} \left( { - 2;1;1} \right)\)
Khi đó ta có \(vtpt\,\overrightarrow {\,n} = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {0; - 1;1} \right)\)
Khi đó phương trình mặt phẳng (P) có dạng: \( - y + z + D = 0\)
Ta lại có: Phương trình mặt phẳng (P) cách đều hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\)nên: \(d\left( {{d_1};\left( P \right)} \right) = d\left( {{d_2};\left( P \right)} \right) \Leftrightarrow d\left( {A;\left( P \right)} \right) = d\left( {B;\left( P \right)} \right)\) với \(A\left( {2;0;0} \right);B\left( {0;1;2} \right)\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{\left| D \right|}}{{\sqrt {1 + 1} }} = \dfrac{{\left| { - 1 + 2 + D} \right|}}{{\sqrt {1 + 1} }} \Leftrightarrow \left| D \right| = \left| {D + 1} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}D = D + 1\\D = - D - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 = 1\left( {vn} \right)\\D = \dfrac{{ - 1}}{2}\end{array} \right.\)
Vậy phương trình mặt phẳng (P) cần tìm là: \( - y + z - \dfrac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow 2y - 2z + 1 = 0\)
Hướng dẫn giải:
Phương trình (P) song song với 2 đường thẳng \({d_1},{d_2}\) nên vtpt của (P) chính là \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]\)
Và có Phương trình mặt phẳng (P) cách đều hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\)nên: \(d\left( {{d_1};\left( P \right)} \right) = d\left( {{d_2};\left( P \right)} \right)\)
