Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm \(A\left( {2; - 1;1} \right);\,\,M\left( {5;3;1} \right);\,\,N\left( {4;1;2} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,y + z = 27\) . Biết rằng tồn tại điểm B trên tia AM, điểm C trên \(\left( P \right)\) và điểm D trên tia AN sao cho tứ giác \(ABCD\) là hình thoi. Tọa độ điểm C là:

Ta có \(\overrightarrow {AM}  = \left( {3;4;0} \right);\,\,\overrightarrow {AN}  = \left( {2;2;1} \right)\)

\( \Rightarrow \) phương trình đường thẳng AM và AN lần lượt là :

\(\begin{array}{l}\left( {AM} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y =  - 1 + 4t\\z = 1\end{array} \right.;\,\,\,\left( {AN} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t'\\y =  - 1 + 2t'\\z = 1 + t'\end{array} \right.\\B \in AM \Rightarrow B\left( {2 + 3t; - 1 + 4t;1} \right);\,\,\,D \in AN \Rightarrow D\left( {2 + 2t'; - 1 + 2t';1 + t'} \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {3t;4t;0} \right);\,\,\overrightarrow {DC}  = \left( {{x_C} - 2 - 2t';\,{y_C} + 1 - 2t';{z_C} - 1 - t'} \right)\end{array}\)

Do \(ABCD\) là hình thoi \( \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} - 2 - 2t' = 3t\\{y_C} + 1 - 2t' = 4t\\{z_C} - 1 - t' = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3t + 2t' + 2\\{y_C} = 4t + 2t' - 1\\{z_C} = t' + 1\end{array} \right.\)

Mà \(C \in \left( P \right) \Rightarrow 4t + 2t' - 1 + t' + 1 = 27 \Leftrightarrow 4t + 3t' = 27\)

ABCD là hình thoi \( \Rightarrow \overrightarrow {AC}  \bot \overrightarrow {BD}  \Rightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD}  = 0\)

Ta có \(\overrightarrow {AC}  = \left( {3t + 2t';4t + 2t';t'} \right);\,\,\overrightarrow {BD}  = \left( {2t' - 3t;2t' - 4t;t'} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {3t + 2t'} \right)\left( {2t' - 3t} \right) + \left( {4t + 2t'} \right)\left( {2t' - 4t} \right) + t{'^2} = 0\\ \Leftrightarrow 4t{'^2} - 9{t^2} + 4t{'^2} - 16{t^2} + t{'^2} = 0\\ \Leftrightarrow 9t{'^2} = 25{t^2}\\ \Leftrightarrow 3t' =  \pm 5t\end{array}\) 

TH1 : \(\left\{ \begin{array}{l}4t + 3t' = 27\\3t' = 5t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 3\\t' = 5\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {21;21;6} \right)\)

TH2 :  \(\left\{ \begin{array}{l}4t + 3t' = 27\\3t' =  - 5t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t =  - 27\\t' = 45\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {11; - 19;46} \right)\)