Bài tập ôn tập chương 6

Gọi $M$ là trung điểm $BC$, $I$ là trung điểm $BC'$. Khi đó, $IM$ là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Mặt khác, $IB = IC = IB' = IC' = IA'$. Do đó, $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ $ABC.A'B'C'$. Bán kính $R = \dfrac{1}{2} \cdot BC' = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{{AB}}{{\sin 60^\circ }} = \dfrac{{4a}}{2} = 2a$.

Ta có đường cao hình nón $h = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$$\Rightarrow R = \dfrac{2}{3}h = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}$.

Ta thấy: $\widehat {SAC} = \widehat {SBC} = {90^0}$ nên các đỉnh $A,B$ luôn nhìn cạnh $SC$ một góc ${90^0}$. Do đó tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là trung điểm $SC$.

Công thức tính diện tích mặt cầu $S = 4\pi {R^2}$

Khối trụ ngoại tiếp lăng trụ tam giác đều có hình tròn đáy là hình tròn ngoại tiếp tam giác đáy của lăng trụ, và chiều cao bằng chiều cao lăng trụ.

Tam giác đều cạnh $a$ có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng $\dfrac{{\sqrt 3 a}}{3}$. Vậy thể tích của khối trụ cần tìm là $V = h.S = h.\pi .{\left( {\dfrac{{\sqrt 3 a}}{3}} \right)^2} = \dfrac{{\pi {a^2}h}}{3}$(đvtt).

Do $\widehat {ABC} = 120^\circ  \Rightarrow \widehat {BAD} = 60^\circ$ suy ra $\Delta ABD$ đều

$\Rightarrow DA = DB = DC = a$ nên $D$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$.

Gọi $M$ là trung điểm của$AB$, $G$ là trọng tâm của $\Delta SAB$.

Qua $D$ kẻ $d \bot (ABCD)$, và qua $G$ kẻ $d' \bot (SAB)$

Gọi $I = d \cap d'$.

Ta có $IA = IB = IC = ID$

Khi đó $I$ là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ có bán kính $R = IA = \sqrt {A{D^2} + M{G^2}}  = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}} \right)}^2}}  = \dfrac{{\sqrt {39} }}{6}a$

Dựa vào giả thiết ta có bán kính đáy hình nón là bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông nên $r = \dfrac{a}{2}$.

Chiều cao hình nón là khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$nên $h = 2{\rm{a}}$

Độ dài đường sinh hình nón là $l = \sqrt {{h^2} + {r^2}}  = \sqrt {4{{\rm{a}}^2} + \dfrac{{{a^2}}}{4}}  = \dfrac{{a\sqrt {17} }}{2}$

Diện tích xung quanh của hình nón là ${S_{xq}} = \pi {\rm{r}}l = \pi \dfrac{a}{2}.\dfrac{{a\sqrt {17} }}{2} = \dfrac{{\pi {a^2}\sqrt {17} }}{4}$.

Gọi $r$ là bán kính đường tròn đáy của hình trụ và hình nón.

Theo bài ra ta có: Chu vi đáy là $C = 2\pi r = 20\sqrt 3 \pi  \Rightarrow r = 10\sqrt 3 \,\,\left( {cm} \right)$

Thể tích khối nón là ${V_1} = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}.{h_1} = \dfrac{1}{3}\pi .{\left( {10\sqrt 3 } \right)^2}.10 = 1000\pi \,\,\left( {c{m^3}} \right)$

Thể tích khối trụ là ${V_2} = \pi {r^2}.{h_2} = \pi .{\left( {10\sqrt 3 } \right)^2}.40 = 12000\pi \,\,\,\left( {c{m^3}} \right)$

Thể tích của cột là $V = {V_1} + {V_2} = 13000\pi \,\,\left( {c{m^3}} \right)$.

Bước 1: Tính số nguyên tử Ca có trong một ô cơ sở

Số nguyên tử Ca trong một ô cơ sở gồm: 6 mặt mỗi mặt có $\dfrac{1}{2}$ khối cầu+8 góc $\dfrac{1}{8}$ khối cầu. Như thế số nguyên tử Ca là: $6.\dfrac{1}{2} + 8.\dfrac{1}{8} = 4$ nguyên tử.

Bước 2: Tính thể tích chiếm chỗ của Ca trong một ô cơ sở và thể tích của ô cơ sở.

Thể tích của 4 nguyên tử Ca là:  ${V_{Ca}} = 4.\dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{{16}}{3}\pi {R^3}$

Thể tích của một khối lập phương là ${V_{lp}} = {a^3}$.

Bước 3: Tính R theo a và độ đặc khít

Theo hình vẽ ta thấy cạnh huyền: $4R$, các cạnh góc vuông đều bằng a.

Theo định lý Pitago ta có:

${\left( {4R} \right)^2} = {a^2} + {a^2}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 16{R^2} = 2{a^2} \Leftrightarrow {a^2} = 8{R^2}\\ \Leftrightarrow a = 2R\sqrt 2  \Rightarrow \dfrac{R}{a} = \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}\end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{{V_{Ca}}}}{{{V_{lp}}}} = \dfrac{{\dfrac{{16}}{3}\pi .{R^3}}}{{{a^3}}} = \dfrac{{16}}{3}\pi .{\left( {\dfrac{R}{a}} \right)^3}\\ = \dfrac{{16\pi }}{3}.{\left( {\dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)^3} \approx 0,74 = 74\% \end{array}$