Câu hỏi:
2 năm trước
Cho tứ diện \(ABCD\), biết \(A\left( {1;2;0} \right),B\left( {0;1; - 1} \right),C\left( {0;0;1} \right)\) và \(G\left( {2; - 1;0} \right)\) là trọng tâm tứ diện. Thể tích khối tứ diện đã cho là:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
\(G\) là trọng tâm tứ diện nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 4{x_G} - {x_A} - {x_B} - {x_C} = 4.2 - 1 - 0 - 0 = 7\\{y_D} = 4{y_G} - {y_A} - {y_B} - {y_C} = 4.\left( { - 1} \right) - 2 - 1 - 0 = - 7\\{z_D} = 4{z_G} - {z_A} - {z_B} - {z_C} = 4.0 - 0 - \left( { - 1} \right) - 1 = 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow D\left( {7; - 7;0} \right)\)
Khi đó \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 1; - 1} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 1; - 2;1} \right),\overrightarrow {AD} = \left( {6; - 9;0} \right)\).
Ta có \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 3;2;1} \right)\) \( \Rightarrow V = \dfrac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| = \dfrac{1}{6}\left| { - 3.6 + 2.\left( { - 9} \right) + 1.0} \right| = 6\)
Hướng dẫn giải:
- Tìm tọa độ điểm \(D\) dựa vào công thức trọng tâm.
- Tính thể tích khối tứ diện theo công thức \(V = \dfrac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|\)
