Trong không gian tọa độ \(\left( {Oxyz} \right)\), cho các điểm \(A\left( {0;0;1} \right),B\left( {1; - 1;2} \right),\)\(D\left( { - 3; - 2; - 1} \right),A'\left( {1;1;1} \right)\). Thể tích khối hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) là:
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 1;1} \right),\overrightarrow {AD} = \left( { - 3; - 2; - 2} \right),\overrightarrow {AA'} = \left( {1;1;0} \right)\).
Suy ra \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right] = \left( {4; - 1; - 5} \right)\)
Do đó thể tích \(V = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right].\overrightarrow {AA'} } \right| = \left| {4.1 + \left( { - 1} \right).1 + \left( { - 5} \right).0} \right| = 3\)
Trong không gian cho hai điểm \(M\left( {0;1;3} \right)\) và \(N\left( {1;0;1} \right)\). Sin của góc hợp bởi hai véc tơ \(\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {ON} \) là:
Ta có: \(\overrightarrow {OM} = \left( {0;1;3} \right),\overrightarrow {ON} = \left( {1;0;1} \right)\).
\(\left[ {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {ON} } \right] = \left( {1;3; - 1} \right) \Rightarrow \left| {\left[ {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {ON} } \right]} \right| = \sqrt {1 + 9 + 1} = \sqrt {11} \)
Do đó \(\sin \left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {ON} } \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {ON} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {OM} } \right|.\left| {\overrightarrow {ON} } \right|}} = \dfrac{{\sqrt {11} }}{{\sqrt {1 + 9} .\sqrt {1 + 1} }} = \dfrac{{\sqrt {55} }}{{10}}\)
Trong không gian \(Oxyz,\) cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {1;\,\,2;\,\,1} \right),\,\,\,B\left( {1;\,\,0;\,\,1} \right)\) và \(C\left( {1;\,\,1;\,\,2} \right).\) Diện tích tam giác \(ABC\) bằng:
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {0; - 2;0} \right),\,\,\overrightarrow {AC} = \left( {0; - 1;1} \right)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 2;0;0} \right)\).
Vậy \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \dfrac{1}{2}\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {0^2} + {0^2}} = 1.\)
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( B \right)\) cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng \(\Delta \). Gọi \(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} \) và \(\overrightarrow {{n_{\left( \beta \right)}}} \) lần lượt là vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) tuơng ứng. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của \(\Delta \)?
Ta có: \(\Delta = \left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_\Delta }} \bot \overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} \\\overrightarrow {{u_\Delta }} \bot \overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }} = \overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} \wedge \overrightarrow {{n_{\left( \beta \right)}}} \).
Tích có hướng của hai véc tơ là:
Tích có hướng của hai véc tơ là một véc tơ vuông góc với cả hai véc tơ.
Cho hai véc tơ \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\). Kí hiệu \(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]\), khi đó:
Công thức xác định tọa độ tích có hướng \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}{y_1}\\{y_2}\end{array}&\begin{array}{l}{z_1}\\{z_2}\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}{z_1}\\{z_2}\end{array}&\begin{array}{l}{x_1}\\{x_2}\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}{x_1}\\{x_2}\end{array}&\begin{array}{l}{y_1}\\{y_2}\end{array}\end{array}} \right|} \right) \)
$= \left( {{y_1}{z_2} - {y_2}{z_1};{z_1}{x_2} - {z_2}{x_1};{x_1}{y_2} - {x_2}{y_1}} \right)$
Tính tích có hướng của hai véc tơ \(\overrightarrow u \left( {0;1; - 1} \right),\overrightarrow v \left( {1; - 1; - 1} \right)\).
Ta có:
\(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}1\\ - 1\end{array}&\begin{array}{l} - 1\\ - 1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l} - 1\\ - 1\end{array}&\begin{array}{l}0\\1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}0\\1\end{array}&\begin{array}{l}1\\ - 1\end{array}\end{array}} \right|} \right) \)
$= \left( { - 1 - 1; - 1 - 0;0 - 1} \right) = \left( { - 2; - 1; - 1} \right)$
Cho $\overrightarrow u $ là véc tơ vuông góc với cả hai véc tơ \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \). Chọn nhận xét đúng:
- Tích có hướng của hai véc tơ thì vuông góc với cả hai véc tơ đó nhưng một véc tơ vuông góc với cả hai véc tơ thì chưa chắc đã là tích có hướng của hai véc tơ nên A sai.
- Tích có hướng của hai véc tơ vuông góc với cả hai véc tơ đó nên nó cùng phương với véc tơ \(\overrightarrow u \), do đó B sai, C đúng.
- Véc tơ \(\overrightarrow u \) chỉ cùng phương với véc tơ tích có hướng chứ chưa chắc nó đã là véc tơ đối nên D sai.
Cho hai véc tơ \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \), khi đó:
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = - \left[ {\overrightarrow {{u_2}} ;\overrightarrow {{u_1}} } \right]\)
Điều kiện để hai véc tơ \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương là:
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}} \) cùng phương \(\overrightarrow {{u_2}} \).
Cho hai véc tơ \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) khác \(\overrightarrow 0 \) cùng phương. Điều kiện nào sau đây “không” đúng?
Ta có: \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương, khi đó \(\overrightarrow {{u_1}} = k\overrightarrow {{u_2}} \) hoặc \(\overrightarrow {{u_2}} = k\overrightarrow {{u_1}} \) hoặc \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \overrightarrow 0 \).
Tích vô hướng của hai vecto cùng phương là một số thực khác $0$ nên đáp án D sai.
Do đó các đáp án A, B, C đúng.
Hai véc tơ \(\overrightarrow u = \left( {a;1;b} \right),\overrightarrow v = \left( { - 2;2;c} \right)\) cùng phương thì:
Ta có: \(\overrightarrow u = k\overrightarrow v \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2k\\1 = 2k\\b = kc\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = \dfrac{1}{2}\\a = - 1\\b = \dfrac{1}{2}c\end{array} \right. \Rightarrow c = 2b\)
Cho hai véc tơ \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \), chọn kết luận sai:
Vì tích có hướng của hai véc tơ vuông góc với cả hai véc tơ đó nên:
\(\begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] \bot \overrightarrow {{u_1}} \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{u_1}} = 0\\\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] \bot \overrightarrow {{u_2}} \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{u_2}} = 0\end{array}\)
Do đó các đáp án A, C, D đúng.
Cho ba véc tơ \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow {{u_3}} \) thỏa mãn \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{u_3}} = 0\). Khi đó ba véc tơ đó:
\(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{u_3}} = 0 \Leftrightarrow \) ba véc tơ \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow {{u_3}} \) đồng phẳng.
Cho hai véc tơ \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \), kí hiệu \(\left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)\) là góc hợp bởi hai véc tơ. Chọn mệnh đề đúng:
Ta có: \(\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right| = \left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|\sin \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)\)
Sin của góc giữa hai véc tơ \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) là:
Ta có: \(\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right| = \left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|\sin \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right) \Rightarrow \sin \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}\)
Trong không gian \(Oxyz\) cho hai điểm \(A\left( {0; - 2;3} \right),B\left( {1;0; - 1} \right)\). Tính sin góc hợp bởi hai véc tơ \(\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} \).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {OA} = \left( {0; - 2;3} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \sqrt {{0^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {3^2}} = \sqrt {13} \\\overrightarrow {OB} = \left( {1;0; - 1} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OB} } \right| = \sqrt {{1^2} + {0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \sqrt 2 \end{array}\)
Suy ra $\left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l} - 2\\0\end{array}&\begin{array}{l}3\\ - 1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}3\\ - 1\end{array}&\begin{array}{l}0\\1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}0\\1\end{array}&\begin{array}{l} - 2\\0\end{array}\end{array}} \right|} \right) = \left( {2;3;2} \right) $
$\Rightarrow \left| {\left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right]} \right| = \sqrt {{2^2} + {3^2} + {2^2}} = \sqrt {17}$
Do đó \(\sin \left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {OA} } \right|.\left| {\overrightarrow {OB} } \right|}} = \dfrac{{\sqrt {17} }}{{\sqrt {13} .\sqrt 2 }} = \sqrt {\dfrac{{17}}{{26}}} \)
Cho \(A,B,C\) là ba đỉnh của tam giác. Công thức tính diện tích tam giác \(ABC\) là:
Tam giác \(ABC\) có \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right|\).
Diện tích tam giác \(OBC\) biết \(B\left( {1;0;2} \right),C\left( { - 2;0;0} \right)\) là:
Ta có: \(\overrightarrow {OB} = \left( {1;0;2} \right),\overrightarrow {OC} = \left( { - 2;0;0} \right)\)
\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow {OC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}0\\0\end{array}&\begin{array}{l}2\\0\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}2\\0\end{array}&\begin{array}{l}1\\ - 2\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}1\\ - 2\end{array}&\begin{array}{l}0\\0\end{array}\end{array}} \right|} \right) = \left( {0; - 4;0} \right)\)
Do đó \({S_{OBC}} = \dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow {OC} } \right]} \right| = \dfrac{1}{2}\sqrt {0 + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {0^2}} = 2\)
Diện tích hình bình hành \(ABCD\) được tính theo công thức:
Công thức tính diện tích hình bình hành \({S_{ABCD}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right]} \right|\)
