Hệ tọa độ trong không gian (tích có hướng và ứng dụng)

Ta có: $\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 1;1} \right),\overrightarrow {AD}  = \left( { - 3; - 2; - 2} \right),\overrightarrow {AA'}  = \left( {1;1;0} \right)$.

Suy ra $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right] = \left( {4; - 1; - 5} \right)$

Do đó thể tích $V = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right].\overrightarrow {AA'} } \right| = \left| {4.1 + \left( { - 1} \right).1 + \left( { - 5} \right).0} \right| = 3$

Ta có: $\overrightarrow {OM}  = \left( {0;1;3} \right),\overrightarrow {ON}  = \left( {1;0;1} \right)$.

$\left[ {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {ON} } \right] = \left( {1;3; - 1} \right) \Rightarrow \left| {\left[ {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {ON} } \right]} \right| = \sqrt {1 + 9 + 1}  = \sqrt {11}$

Do đó $\sin \left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {ON} } \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {ON} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {OM} } \right|.\left| {\overrightarrow {ON} } \right|}} = \dfrac{{\sqrt {11} }}{{\sqrt {1 + 9} .\sqrt {1 + 1} }} = \dfrac{{\sqrt {55} }}{{10}}$

Ta có: $\overrightarrow {AB}  = \left( {0; - 2;0} \right),\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( {0; - 1;1} \right)$ $\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 2;0;0} \right)$.

Vậy  ${S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \dfrac{1}{2}\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {0^2} + {0^2}}  = 1.$

Ta có: $\Delta  = \left( \alpha  \right) \cap \left( \beta  \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_\Delta }}  \bot \overrightarrow {{n_{\left( \alpha  \right)}}} \\\overrightarrow {{u_\Delta }}  \bot \overrightarrow {{n_{\left( \alpha  \right)}}} \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }}  = \overrightarrow {{n_{\left( \alpha  \right)}}}  \wedge \overrightarrow {{n_{\left( \beta  \right)}}}$.

Tích có hướng của hai véc tơ là một véc tơ vuông góc với cả hai véc tơ.

Công thức xác định tọa độ tích có hướng $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}{y_1}\\{y_2}\end{array}&\begin{array}{l}{z_1}\\{z_2}\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}{z_1}\\{z_2}\end{array}&\begin{array}{l}{x_1}\\{x_2}\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}{x_1}\\{x_2}\end{array}&\begin{array}{l}{y_1}\\{y_2}\end{array}\end{array}} \right|} \right)$

$= \left( {{y_1}{z_2} - {y_2}{z_1};{z_1}{x_2} - {z_2}{x_1};{x_1}{y_2} - {x_2}{y_1}} \right)$

Ta có:

$\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}1\\ - 1\end{array}&\begin{array}{l} - 1\\ - 1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l} - 1\\ - 1\end{array}&\begin{array}{l}0\\1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}0\\1\end{array}&\begin{array}{l}1\\ - 1\end{array}\end{array}} \right|} \right)$

$= \left( { - 1 - 1; - 1 - 0;0 - 1} \right) = \left( { - 2; - 1; - 1} \right)$

- Tích có hướng của hai véc tơ thì vuông góc với cả hai véc tơ đó nhưng một véc tơ vuông góc với cả hai véc tơ thì chưa chắc đã là tích có hướng của hai véc tơ nên A sai.

- Tích có hướng của hai véc tơ vuông góc với cả hai véc tơ đó nên nó cùng phương với véc tơ $\overrightarrow u$, do đó B sai, C đúng.

- Véc tơ $\overrightarrow u$ chỉ cùng phương với véc tơ tích có hướng chứ chưa chắc nó đã là véc tơ đối nên D sai.

Ta có: $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] =  - \left[ {\overrightarrow {{u_2}} ;\overrightarrow {{u_1}} } \right]$

Ta có: $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}}$ cùng phương $\overrightarrow {{u_2}}$.

Ta có: $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}}$ cùng phương, khi đó $\overrightarrow {{u_1}}  = k\overrightarrow {{u_2}}$ hoặc $\overrightarrow {{u_2}}  = k\overrightarrow {{u_1}}$ hoặc $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \overrightarrow 0$.

Tích vô hướng của hai vecto cùng phương là một số thực khác $0$ nên đáp án D sai.

Do đó các đáp án A, B, C đúng.

Ta có: $\overrightarrow u  = k\overrightarrow v  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2k\\1 = 2k\\b = kc\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = \dfrac{1}{2}\\a =  - 1\\b = \dfrac{1}{2}c\end{array} \right. \Rightarrow c = 2b$

Vì tích có hướng của hai véc tơ vuông góc với cả hai véc tơ đó nên:

$\begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] \bot \overrightarrow {{u_1}}  \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{u_1}}  = 0\\\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] \bot \overrightarrow {{u_2}}  \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{u_2}}  = 0\end{array}$

Do đó các đáp án A, C, D đúng.

$\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{u_3}}  = 0 \Leftrightarrow$ ba véc tơ $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow {{u_3}}$  đồng phẳng.

Ta có: $\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right| = \left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|\sin \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)$

Ta có: $\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right| = \left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|\sin \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right) \Rightarrow \sin \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}$

Ta có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow {OA}  = \left( {0; - 2;3} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \sqrt {{0^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {3^2}}  = \sqrt {13} \\\overrightarrow {OB}  = \left( {1;0; - 1} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OB} } \right| = \sqrt {{1^2} + {0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}}  = \sqrt 2 \end{array}$

Suy ra $\left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l} - 2\\0\end{array}&\begin{array}{l}3\\ - 1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}3\\ - 1\end{array}&\begin{array}{l}0\\1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}0\\1\end{array}&\begin{array}{l} - 2\\0\end{array}\end{array}} \right|} \right) = \left( {2;3;2} \right)$

$\Rightarrow \left| {\left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right]} \right| = \sqrt {{2^2} + {3^2} + {2^2}}  = \sqrt {17}$

Do đó $\sin \left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {OA} } \right|.\left| {\overrightarrow {OB} } \right|}} = \dfrac{{\sqrt {17} }}{{\sqrt {13} .\sqrt 2 }} = \sqrt {\dfrac{{17}}{{26}}}$

Tam giác $ABC$ có ${S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right|$.

Ta có: $\overrightarrow {OB}  = \left( {1;0;2} \right),\overrightarrow {OC}  = \left( { - 2;0;0} \right)$

$\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow {OC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}0\\0\end{array}&\begin{array}{l}2\\0\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}2\\0\end{array}&\begin{array}{l}1\\ - 2\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}1\\ - 2\end{array}&\begin{array}{l}0\\0\end{array}\end{array}} \right|} \right) = \left( {0; - 4;0} \right)$

Do đó ${S_{OBC}} = \dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow {OC} } \right]} \right| = \dfrac{1}{2}\sqrt {0 + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {0^2}}  = 2$

Công thức tính diện tích hình bình hành ${S_{ABCD}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right]} \right|$