Công thức nào sau đây không sử dụng để tính diện tích hình bình hành \(ABCD\)?
Diện tích hình bình hành \({S_{ABCD}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right]} \right| = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \left| {\left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right]} \right|\)
Hai công thức sau có được từ việc suy luận diện tích hình bình hành $ABCD$ bằng hai lần diện tích tam giác $ABC$ hoặc tam giác $DCB$.
Chỉ có đáp án D là công thức sai.
Diện tích hình bình hành \(ABCD\) có các điểm \(A\left( {1;0;0} \right),B\left( {0;1;2} \right),C\left( { - 1;0;0} \right)\) là:
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;1;2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 2;0;0} \right) \)
$\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}1\\0\end{array}&\begin{array}{l}2\\0\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}2\\0\end{array}&\begin{array}{l} - 1\\ - 2\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l} - 1\\ - 2\end{array}&\begin{array}{l}1\\0\end{array}\end{array}} \right|} \right) = \left( {0; - 4;2} \right)$
Do đó diện tích hình bình hành \({S_{ABCD}}\) là:
\({S_{ABCD}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \sqrt {{0^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {2^2}} = 2\sqrt 5 \)
Thể tích khối tứ diện được tính theo công thức:
Công thức tính thể tích tứ diện \(ABCD\) là \({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|\)
Trong không gian tọa độ \(Oxyz\), tính thể tích khối tứ diện \(OBCD\) biết \(B\left( {2;0;0} \right),C\left( {0;1;0} \right),D\left( {0;0; - 3} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {OB} = \left( {2;0;0} \right),\overrightarrow {OC} = \left( {0;1;0} \right),\overrightarrow {OD} = \left( {0;0; - 3} \right)\)
Do đó \(\left[ {\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow {OC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}0\\1\end{array}&\begin{array}{l}0\\0\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}0\\0\end{array}&\begin{array}{l}2\\0\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}2\\0\end{array}&\begin{array}{l}0\\1\end{array}\end{array}} \right|} \right) = \left( {0;0;2} \right)\)
Suy ra \({V_{OBCD}} = \dfrac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow {OC} } \right].\overrightarrow {OD} } \right| = \dfrac{1}{6}\left| {0.0 + 0.0 + 2.\left( { - 3} \right)} \right| = 1\)
Công thức tính thể tích khối hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) là:
Khối hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có thể tích \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right].\overrightarrow {AA'} } \right|\)
Trong không gian \(Oxyz\) cho các điểm \(A\left( {1; - 1;0} \right),B\left( { - 1;0;2} \right),D\left( { - 2;1;1} \right),A'\left( {0;0;0} \right)\). Thể tích khối hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) là:
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;1;2} \right),\overrightarrow {AD} = \left( { - 3;2;1} \right),\overrightarrow {AA'} = \left( { - 1;1;0} \right)\)
Suy ra
\(\begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}1\\2\end{array}&\begin{array}{l}2\\1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}2\\1\end{array}&\begin{array}{l} - 2\\ - 3\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l} - 2\\ - 3\end{array}&\begin{array}{l}1\\2\end{array}\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 3; - 4; - 1} \right)\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right].\overrightarrow {AA'} = \left( { - 3} \right).\left( { - 1} \right) + \left( { - 4} \right).1 + \left( { - 1} \right).0 = - 1\end{array}\)
Khi đó: \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right].\overrightarrow {AA'} } \right| = \left| { - 1} \right| = 1\)
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1;0;2} \right)\), \(B\left( {2; - 1;3} \right)\). Số điểm \(M\) thuộc trục \(Oy\) sao cho tam giác \(MAB\) có diện tích bằng \(\dfrac{{\sqrt 6 }}{4}\) là:
Gọi \(M\left( {0;m;0} \right) \in Oy\).
Ta có: \(\overrightarrow {AM} = \left( { - 1;m; - 2} \right)\), \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 1;1} \right)\).
\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AM} ;\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {m - 2; - 1;1 - m} \right)\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{MAB}} = \dfrac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {AM} ;\overrightarrow {AB} } \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}\sqrt {{{\left( {m - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - m} \right)}^2}} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}\sqrt {2{m^2} - 6m + 6} \\ \Rightarrow \dfrac{1}{2}\sqrt {2{m^2} - 6m + 6} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{4}\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {2{m^2} - 6m + 6} = \sqrt 6 \\ \Leftrightarrow 4\left( {2{m^2} - 6m + 6} \right) = 6\\ \Leftrightarrow 8{m^2} - 24m + 18 = 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 12m + 9 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {2m - 3} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow m = \dfrac{3}{2}\end{array}\)
Vậy có 1 điểm \(M\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(M\left( {0;\dfrac{3}{2};0} \right)\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz,\) véctơ nào dưới đây vuông góc với cả hai véctơ \(\vec u = \left( { - 1;0;2} \right),\)\(\vec v = \left( {4;0; - 1} \right)\)?
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right] = \left( {0;7;0} \right)\).
Dựa vào các đáp án ta thấy chỉ có vectơ \(\vec w = \left( {0; - 1;0} \right)\)cùng phương với \(\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right]\).
Vậy \(\vec w = \left( {0; - 1;0} \right)\) vuông góc với cả hai véctơ \(\vec u = \left( { - 1;0;2} \right),\) \(\vec v = \left( {4;0; - 1} \right)\).
