Bài toán về điểm và véc tơ

Gọi $D$ là chân phân giác trong của góc $\widehat B$, ta có $\dfrac{{DA}}{{DC}} = \dfrac{{BA}}{{BC}} = \dfrac{3}{{15}} \Rightarrow \overrightarrow {DA}  =  - \dfrac{1}{5}\overrightarrow {DC}$

Gọi $D\left( {x;y;z} \right)$ ta có: $\overrightarrow {DA}  =  - \dfrac{1}{5}\overrightarrow {DC}  \Leftrightarrow  - 5\overrightarrow {DA}  = \overrightarrow {DC}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 5\left( {2 - x} \right) =  - 10 - x\\ - 5\left( { - 1 - y} \right) = 5 - y\\ - 5\left( {3 - z} \right) = 3 - z\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6x = 0\\6y = 0\\6z = 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\\z = 3\end{array} \right.$

Suy ra $D\left( {0;0;3} \right)$. Vậy $BD = 2\sqrt 5$.

Gọi $F$ là chân đường phân giác ngoài góc $\widehat A$ của tam giác $ABC$, ta có $\overrightarrow {FB}  = \dfrac{{AB}}{{AC}}.\overrightarrow {FC}$.

Tính được $AB = 5\sqrt 5 \,\,,\,\,AC = 3\sqrt 5$. Suy ra $\overrightarrow {FB}  = \dfrac{5}{3}\overrightarrow {FC}  \Leftrightarrow 3\overrightarrow {FB}  = 5\overrightarrow {FC}$.

Gọi $F\left( {x;y;z} \right)$. Từ $3\overrightarrow {FB}  = 5\overrightarrow {FC}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3\left( { - 5 - x} \right) = 5\left( {3 - x} \right)\\3\left( {6 - y} \right) = 5\left( {2 - y} \right)\\3\left( {0 - z} \right) = 5\left( {0 - z} \right)\end{array} \right.\, \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 15\\y =  - 4\\z = 0\end{array} \right.$.

Do $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp nên ta có $\overrightarrow {A'D'}  = \overrightarrow {BC}$, suy ra $A'\left( {7;0; - 5} \right)$.

Và $\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {BB'}$ nên suy ra $B'\left( {6; - 1; - 1} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {BA}  = \left( {1;1; - 4} \right)$, $\overrightarrow {BC}  = \left( { - 5;1;4} \right)$ và $\overrightarrow {BB'}  = \left( {6; - 1;1} \right)$

Thể tích khối hộp ${V_{ABCD.A'B'C'D'}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {BB'} ,\overrightarrow {BC} } \right].\overrightarrow {BA} } \right| = 38$

Ta có: $\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3;0; - 4} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {4;0; - 3} \right),$ $\overrightarrow {AD}  = \left( {2;3; - 3} \right)$ nên $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {0; - 25;0} \right)$

Diện tích tam giác ${S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \dfrac{{25}}{2}$

Thể tích tứ diện ${V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| = \dfrac{{25}}{2}$.

Suy ra độ dài đường cao $h = d\left( {D,\left( {ABC} \right)} \right) = \dfrac{{3{V_{ABCD}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = 3$.

Bước 1: Tính $\left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right]$

Ta có:  $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\vec a = (1;2;1)}\\{\vec b = ( - 1;1;2)}\end{array} \Rightarrow [\vec a;\vec b] = (3; - 3;3)} \right.$.

Bước 2: Tìm x

Khi đó $\vec c,\vec b,\vec c$ đồng phẳng $\Leftrightarrow [\vec a;\vec b] \cdot \vec c = 0$$\Leftrightarrow 3x - 9x + 3\left( {x + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2$

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}};{{y}_{2}}-{{y}_{1}};\ {{z}_{2}}-{{z}_{1}} \right)=\left( 1-2;\ -1+2;\ 3-1 \right)=\left( -1;\ 1;\ 2 \right).$

Ta có $A\left( 3;-\,4;0 \right),\,\,B\left( 0;2;4 \right)\,\,\Rightarrow \,\,\overrightarrow{AB}=\left( -\,3;6;4 \right).$

Trục $Oz$ đi qua điểm $O\left( {0;0;0} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\vec k\left( {0;0;1} \right)$.

Suy ra phương trình trục $Oz$ là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\\z = t\end{array} \right.$.

Gọi $\left( \alpha  \right)$ là mặt phẳng chứa điểm $A$ và vuông góc với trục $Oz$.

Suy ra $\left( \alpha  \right)$ nhận $\vec k\left( {0;0;1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ đi qua điểm $A\left( {1;0;5} \right)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec k\left( {0;0;1} \right)$.

Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$: $0.\left( {x - 1} \right) + 0.\left( {y - 0} \right) + 1.\left( {z - 5} \right) = 0$

$\Leftrightarrow z - 5 = 0$.

Gọi $H$ là giao điểm của trục $Oz$ và mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$.

Ta có $H \in Oz \Rightarrow H\left( {0;0;t} \right)$.

Lại có $H \in \left( \alpha  \right) \Rightarrow t = 5$.

Khi đó $H\left( {0;0;5} \right)$.

Chứng minh tương tự, ta tìm được hình chiếu của điểm $B$ lên trục $Oy$ là $K\left( {0;9;0} \right)$.

Chọn $A'\left( {0; - 1;5} \right) \in \left( {Oyz} \right)$ và $B'\left( {0;9; - 7} \right) \in \left( {Oyz} \right)$.

Suy ra $\overrightarrow {A'B'}  = \left( {0;10; - 12} \right) \Rightarrow A'B' = 2\sqrt {61}$.

Xét $\Delta AHM$ và $\Delta A'HM$, có:

$HM$ chung.

$AH = A'H\,\,\left( { = 1} \right)$.

$\widehat {AHM} = \widehat {A'HM} = 90^\circ$.

Do đó $\Delta AHM = \Delta A'HM$ (c.g.c)

$\Rightarrow AM = A'M$ (cặp cạnh tương ứng)

Chứng minh tương tự, ta được $BN = B'N$.

Trong mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$, ta có độ dài đường gấp khúc $AMNB$ là:

$AM + MN + NB = A'M + MN + NB' \ge A'B' = 2\sqrt {61}$.

Khi đó độ dài nhỏ nhất của đường gấp khúc $AMNB$ là $2\sqrt {61}  \approx 15,6$.

Vậy ta chọn phương án B.

Ta có: $\overrightarrow {OM}  = 2\vec i + \vec j \Rightarrow \overrightarrow {OM}  = 2.\vec i + 1.\vec j + 0.\overrightarrow k  \Leftrightarrow M\left( {2;1;0} \right)$

Ta có: $\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {ON}  - \overrightarrow {OM}  = \left( {2\vec j - 3\vec i} \right) - \left( {2\vec j - \vec k} \right) =  - 3\vec i + \vec k$

Suy ra $\overrightarrow {MN}  = \left( { - 3;0;1} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {BA}  = (0 - 1; - 2 - 0;3 + 1) = ( - 1; - 2;4)$. Suy ra A sai.

Suy ra $\overrightarrow {AB}  = (1;2; - 4)$, D sai.

Có $AB = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 4)}^2}}  = \sqrt {21}$. B đúng.

Mà $M$ là trung điểm của $AB$ nên $M\left( {\frac{1}{2}; - 1;1} \right)$, C sai.

Ta có $\overrightarrow {MN}  = (6 - 2; - 4 + 3; - 1 - 5) = (4; - 1; - 6)$.

Do đó$|\overrightarrow {MN} | = \sqrt {{4^2} + {{( - 1)}^2} + {{( - 6)}^2}}  = \sqrt {53}$

Kiểm tra lần lượt các điều kiện

$\left\{ \begin{array}{l}\left| {\vec a} \right| = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {1^2} + {0^2}}  = \sqrt 2 \\\left| {\vec c} \right| = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}}  = \sqrt 3 \\\vec a.\vec b = ( - 1).1 + 1.1 + 0.0 = 0 \Rightarrow \vec a \bot \vec b\end{array} \right.$

Lại có: $\overrightarrow b .\overrightarrow c  = 1.1 + 1.1 + 0.1 = 2 \ne 0$ nên $\overrightarrow b$ và $\overrightarrow c$ không vuông góc.

Tính $\left[ {\vec a,\vec b} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&5\\1&3\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&4\\3&3\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&2\\3&1\end{array}} \right|} \right) = \left( {1;3; - 2} \right)$. Suy ra loại A

Tính $\left[ {\vec a,\vec b} \right].\vec c = \left( {1;3; - 2} \right).\left( {2;0;1} \right) = 0$. Suy ra $\vec a,\vec b,\vec c$ đồng phẳng.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Ta có $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = 2\overrightarrow {AM}$.

Do tính chất trọng tâm có $\overrightarrow {AM}  = \dfrac{3}{2}\overrightarrow {AG}$. Suy ra$\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = 3\overrightarrow {AG}$.

Mà $\overrightarrow {AG}  = \left( {2 - 2;1 - 4;0 - ( - 3)} \right) = \left( {0; - 3;3} \right)$. Suy ra $3\overrightarrow {AG}  = (0; - 9;9)$.

Chú ý rằng $\left( {5\overrightarrow a , - 2\overrightarrow b } \right) = {180^0} - \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {150^0}.$

Sử dụng công thức $\left| {\left[ {m\vec a,n\vec b} \right]} \right| = \left| {m.n} \right|.\left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|.\sin \left( {m\vec a,n\vec b} \right)$, ta được

$\left| {\left[ {5\overrightarrow a , - 2\overrightarrow b } \right]} \right| = \left| {5.\left( { - 2} \right)} \right|.2\sqrt 3 .3.\sin {150^0} = 30\sqrt 3 .$

Có $\overrightarrow {AB}  = \left( {2 - 1; - 1 - 2;3 + 1} \right) = \left( {1; - 3;4} \right)$ và $\overrightarrow {DC}  = ( - 3 - {x_D};5 - {y_D};1 - {z_D})$.

ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 - {x_D} = 1\\5 - {y_D} =  - 3\\1 - {z_D} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} =  - 4\\{y_D} = 8\\{z_D} =  - 3\end{array} \right.$

Có $\overrightarrow {AB}  = \left( {1 - 2;1 - 4; - 3 + 4} \right) = \left( { - 1; - 3;1} \right)$ và $\overrightarrow {AC}  = \left( { - 2 - 2;0 - 4;5 + 4} \right) = \left( { - 4; - 4;9} \right)$.

Tính $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&1\\{ - 4}&9\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 1}\\9&{ - 4}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{ - 3}\\{ - 4}&{ - 4}\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 23;5; - 8} \right)$.

Áp dụng công thức tính diện tích hình bình hành có

${S_{ABCD}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \sqrt {{{( - 23)}^2} + {5^2} + {{( - 8)}^2}}  = \sqrt {618}$

Có $\overrightarrow {AB}  = \left( {3 - 1;3 - 2;4 - 3} \right) = \left( {2;1;1} \right)$ và $\overrightarrow {AC}  = \left( { - 1 - 1;1 - 2;2 - 3} \right) = \left( { - 2; - 1; - 1} \right)$.

Nhận thấy $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AC}$ là hai vectơ đối nhau.

Ta có: $\left[ {\vec a,\vec b} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{ - 2}\\2&m\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&3\\m&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&{ - 1}\\1&2\end{array}} \right|} \right) = \left( { - m + 4; - 2 - 3m;7} \right)$

$\vec c = \left[ {\vec a,\vec b} \right] \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - m + 4 = 5\\ - 2 - 3m = 1\\7 = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow m =  - 1$