Bài toán về điểm và véc tơ

$M$ nằm trên trục tung, giả sử $M(0;m;0)$. Ta có

$\overrightarrow {MA}  = (1;2 - m; - 1)$ và   $\overrightarrow {MB}  = ( - 1;3 - m;1)$

Vì tam giác $ABM$ vuông tại $M$ nên ta có $\overrightarrow {MA.} \overrightarrow {MB}  = 0$ $\Leftrightarrow 1.( - 1) + (2 - m)(3 - m) + ( - 1).1 = 0 \Leftrightarrow {m^2} - 5m + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 4\end{array} \right.$ 

$M$ thuộc mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$, giả sử $M(m;n;0)$.

Ta có

$\begin{array}{l}MA = \sqrt {{{(m - 1)}^2} + {{(n - 1)}^2} + {{(0 - 1)}^2}}  = \sqrt {{{(m - 1)}^2} + {{(n - 1)}^2} + 1} \\MB = \sqrt {{{(m + 1)}^2} + {{(n + 1)}^2} + {{(0 - 0)}^2}}  = \sqrt {{{(m + 1)}^2} + {{(n + 1)}^2}} \\MC = \sqrt {{{(m - 3)}^2} + {{(n - 1)}^2} + {{(0 + 1)}^2}}  = \sqrt {{{(m - 3)}^2} + {{(n - 1)}^2} + 1} \end{array}$

Vì $M$ cách đều ba điểm $A,B,C$ nên ta có $MA = MB = MC$.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}MA = MB\\MA = MC\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}M{A^2} = M{B^2}\\M{A^2} = M{C^2}\end{array} \right.$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(m - 1)^2} + {(n - 1)^2} + 1 = {(m + 1)^2} + {(n + 1)^2}\\{(m - 1)^2} + {(n - 1)^2} + 1 = {(m - 3)^2} + {(n - 1)^2} + 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4m + 4n = 1\\4m = 8\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\\n =  - \dfrac{7}{4}\end{array} \right.\end{array}$

Vậy $M\left( {2; - \dfrac{7}{4};0} \right)$ 

$M$ nằm trên trục $Oz$, giả sử $M(0;0;m)$.

Ta có

$\begin{array}{l}MA = \sqrt {{{(0 - 1)}^2} + {{(0 - 4)}^2} + {{(m - 2)}^2}}  = \sqrt {{{(m - 2)}^2} + 17} \\MB = \sqrt {{{(0 + 1)}^2} + {{(0 - 2)}^2} + {{(m - 4)}^2}}  = \sqrt {{{(m - 4)}^2} + 5} \end{array}$

Theo giả thiết $M{A^2} + M{B^2} = 32$ suy ra ta có

$\begin{array}{l}{(m - 2)^2} + 17 + {(m - 4)^2} + 5 = 32\\ \Leftrightarrow {(m - 2)^2} + {(m - 4)^2} = 10\\ \Leftrightarrow 2{m^2} - 12m + 20 = 10\\ \Leftrightarrow 2{m^2} - 12m + 10 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 5\end{array} \right.\end{array}$

Vậy $M(0;0;1)$ hoặc $M(0;0;5)$

$M$ nằm trên trục $Ox$, giả sử $M(m;0;0)$.

Ta có

$\begin{array}{l}MA = \sqrt {{{(m - 0)}^2} + {{(0 - 2)}^2} + {{(0 + 1)}^2}}  = \sqrt {{m^2} + 5} \\MB = \sqrt {{{(m - 2)}^2} + {{(0 - 0)}^2} + {{(0 - 1)}^2}}  = \sqrt {{{(m - 2)}^2} + 1} \end{array}$

Suy ra

$M{A^2} + M{B^2} = {m^2} + 5 + {(m - 2)^2} + 1 = 2{m^2} - 4m + 10$

$= 2({m^2} - 2m + 1) + 8 = 2{(m - 1)^2} + 8 \ge 8$

$\min (M{A^2} + M{B^2}) = 8 \Leftrightarrow m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1$.

Vậy $M(1;0;0)$

Gọi $D$ là chân đường phân giác trong góc $\widehat B$ của tam giác $ABC$

Ta có $\overrightarrow {DA}  =  - \dfrac{{BA}}{{BC}}\overrightarrow {DC}$. Tính được $BA = \sqrt {26}$, $BC = \sqrt {104}$.

Suy ra $\overrightarrow {DA}  =  - \dfrac{{\sqrt {26} }}{{\sqrt {104} }}\overrightarrow {DC}  \Leftrightarrow \overrightarrow {DC}  =  - 2\overrightarrow {DA}$.

Gọi $D\left( {x;y;z} \right)$. Từ $\overrightarrow {DC}  =  - 2\overrightarrow {DA}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 - x =  - 2\left( {1 - x} \right)\\7 - y =  - 2\left( {2 - y} \right)\\5 - z =  - 2\left( { - 1 - z} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2/3\\y = 11/3\\z = 1\end{array} \right.$.

Ta có $\overrightarrow {AB}  = (1;1;1),\overrightarrow {AD}  = (0; - 1;0)$

$ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp $\Rightarrow ABCD$ là hình bình hành. Khi đó ta có $\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC}$

Giả sử $C(x;y;z)$ . Ta có: $\overrightarrow {BC}  = (x - 2;y - 1;z - 2)$

 $\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\y - 1 =  - 1\\z - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 0\\z = 2\end{array} \right. \Rightarrow C(2;0;2)$

Ta có $\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {CC'}  = \left( {2;5; - 7} \right),\left[ {\overrightarrow {AB} {\rm{,}}\overrightarrow {AD} } \right]{\rm{ = }}(1;0; - 1)$

Theo công thức tính thể tích ta có

${V_{ABCD.A'B'C'D}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} {\rm{,}}\overrightarrow {AD} } \right]{\rm{.}}\overrightarrow {AA'} } \right| = \left| {1.2 + 0.5 + \left( { - 1} \right).\left( { - 7} \right)} \right| = 9$

Giả sử $D\left( {0;y;0} \right) \in Oy$ ta có:

$\overrightarrow {AB}  = (1;1; - 2),\overrightarrow {AC}  = (0;0;2),\overrightarrow {AD}  = ( - 2;y + 1; - 1)$

Ta có $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {2; - 2;0} \right)$

Theo công thức tính thể tích ta có

${V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}.\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| = \dfrac{1}{6}\left| {\left[ {2.( - 2) - 2.(y + 1) + 0.( - 1)} \right]} \right| = \dfrac{1}{6}\left| {6 + 2y} \right|$

Theo giả thiết ta có ${V_{ABCD}} = 5$, suy ra ta có:

$\dfrac{1}{6}\left| {6 + 2y} \right| = 5 \Leftrightarrow \left| {6 + 2y} \right| = 30 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2y + 6 = 30\\2y + 6 =  - 30\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 12\\y =  - 18\end{array} \right.$

Suy ra  $D(0;12;0)$ hoặc $D(0; - 18;0)$

Do đó tổng tung độ của các điểm $D$ là $12 + ( - 18) =  - 6$

Ta có

$\left[ {\vec a,\vec b} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&2\\2&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\1&{m + 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&m\\{m + 1}&2\end{array}} \right|} \right) = \left( {m - 4;2m + 1;2 - {m^2} - m} \right)$

$\left[ {\vec a,\vec b} \right].\vec c = (2m + 1)(m - 2) + 2(2 - {m^2} - m)$

$\vec a,\vec b,\vec c$ đồng phẳng khi

$\begin{array}{l}\left[ {\vec a,\vec b} \right].\vec c = 0 \Leftrightarrow (2m + 1)(m - 2) + 2(2 - {m^2} - m) = 0\\ \Leftrightarrow 2{m^2} - 4m + m - 2 + 4 - 2{m^2} - 2m = 0\\ \Leftrightarrow  - 5m + 2 = 0\\ \Leftrightarrow m = \dfrac{2}{5}\end{array}$

Có

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( {1 - 1;0 - 2;2 - 5} \right) = \left( {0; - 2; - 3} \right)\\\overrightarrow {AC}  = \left( {4 - 1;7 - 2; - 1 - 5} \right) = \left( {3;5; - 6} \right)\\\overrightarrow {AD}  = \left( {4 - 1;1 - 2;a - 5} \right) = \left( {3; - 1;a - 5} \right)\end{array} \right.\\\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&{ - 3}\\5&{ - 6}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&0\\{ - 6}&3\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 2}\\3&5\end{array}} \right|} \right) = \left( {27; - 9;6} \right)\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD}  = \left( {27; - 9;6} \right).\left( {3; - 1;a - 5} \right) = 60 + 6a\end{array}$

$A,B,C,D$ đồng phẳng khi $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD}  = 0 \Leftrightarrow 60 + 6a = 0 \Leftrightarrow a =  - 10$.

Hai vectơ $\overrightarrow a  = \left( {m;2;3} \right),\overrightarrow b  = \left( {1;n;2} \right)$ cùng phương khi $\frac{m}{1} = \frac{2}{n} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \frac{3}{2}\\n = \frac{4}{3}\end{array} \right.$

$\Rightarrow 2m + 3n = 7.$

Ta có $H\left( {0;0;4} \right)$ và $K\left( {0;4;0} \right)$ là hình chiếu của $A$ trên $Oz$ và $B$ trên $Oy$

Gọi $A'\left( {0; - 4;4} \right);B'\left( {0;4; - 2} \right)$.

Xét hai tam giác vuông $AHM;AHA'$ có chung$HM;\,\,HA = HA' = 4 \Rightarrow \Delta AHM = \Delta A'HM$ (2 cạnh góc vuông) $\Rightarrow AM = A'M$

Chứng minh tương tự ta có $BN = B'N$ .

Độ dài đường gấp khúc $AMNB$ là $AM + MN + NB = A'M + MN + NB' \ge A'B' = 10$.

(Lưu ý rằng các điểm $A',M,N,B'$ cùng nằm trên mặt phẳng $Oyz$).