Phương trình mặt phẳng - Lý thuyết

Véc tơ \(\overrightarrow n \left( { \ne \overrightarrow 0 } \right)\) là một véc tơ pháp tuyến (VTPT) của mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì giá của \(\overrightarrow n \) vuông góc với \(\left( P \right)\).

Ta có: \(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( { - 2; - 7;3} \right)\)

Do đó \(\overrightarrow n  = \left( { - 2; - 7;3} \right)\) là một véc tơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\)

Ta có \(\left( P \right): - 2x + 5y + z - 3 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( { - 2;5;1} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x + 5z - 3 = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow n  = \left( {2;0;5} \right)\).

Điểm \(Q\left( {0;1;0} \right)\), thay tọa độ \(Q\) vào \(\left( \alpha  \right)\) : \(2.0 + 1 - 0 - 1 = 0\) nên \(Q \in \left( \alpha  \right)\), thay tọa độ \(Q\) vào \(\left( \beta  \right)\) : \(2.0 + 1 + 0 - 1 = 0\) nên \(Q \in \left( \beta  \right)\).

Do đó \(Q \in \left( \alpha  \right)\) và \(Q \in \left( \beta  \right)\).

Thay tọa độ điểm \(N\) vào phương trình mặt phẳng \((P)\) ta có \(2.1 – (–1) – 1 – 2 = 0\), vậy điểm \(N\) thuộc mặt phẳng \((P)\).

Ta có: \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \dfrac{{1.2 + 1.1 + \left( { - 2} \right)\left( { - 1} \right)}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \dfrac{5}{6}\)

Ta có véctơ pháp tuyến của mp\(\left( P \right)\) là \(\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 1;2;-2 \right)\), véctơ pháp tuyến của mp\(\left( Q \right)\) là \(\overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left( 1;-3;5 \right)\).

Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\), \(\left( Q \right)\) ta có

\(\cos \alpha =\frac{\left| \overrightarrow{{{n}_{P}}}.\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{P}}} \right|\left| \overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right|}\)\(=\frac{\left| 1.1+2.\left( -3 \right)-2.5 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}}\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -3 \right)}^{2}}+{{5}^{2}}}}\)\(=\frac{15}{3\sqrt{35}}\)\(=\frac{\sqrt{35}}{7}\).

Lấy \(M\left( 6;0;0 \right)\in \left( P \right)\) ta có: (P) // (Q) \(\Rightarrow d\left( \left( P \right);\left( Q \right) \right)=d\left( M;\left( Q \right) \right)=\frac{\left| 6+3 \right|}{\sqrt{1+{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}}=3\)

\(d\left( M;\left( P \right) \right)=\frac{\left| 1-2+1-5 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\frac{5\sqrt{3}}{3}\)

Khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(d\left( M;\left( P \right) \right)=\frac{\left| 1.1+2.2-2.\left( -\,3 \right)-2 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{\left( -\,2 \right)}^{2}}}}=3.\)

Khoảng cách cần tính là \(h=\frac{\left| 2.1-2.1+1.1+5 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -\,2 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\frac{6}{3}=2.\)

+ Đáp án A : \(Q\left( {2; - 1;5} \right)\). Thay \(x = 2;\,\,y =  - 1;\,\,z = 5\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + z - 5 = 0\) ta được \(2 - 2.\left( { - 1} \right) + 5 - 5 = 4 \ne 0\) nên \(Q \notin \left( P \right)\).

+ Đáp án B : \(P\left( {0;0; - 5} \right)\). Thay \(x = 0;\,\,y = 0;\,\,z =  - 5\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + z - 5 = 0\) ta được \(0 - 2.0 + \left( { - 5} \right) - 5 =  - 10 \ne 0\) nên \(P \notin \left( P \right).\)

+ Đáp án C : \(M\left( {1;1;6} \right)\). Thay \(x = 1;y = 1;z = 6\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + z - 5 = 0\) ta được \(1 - 2.1 + 6 - 5 = 0\) nên \(M \in \left( P \right).\)

+ Đáp án D : \(N\left( { - 5;0;0} \right)\). Thay \(x =  - 5;y = 0;z = 0\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + z - 5 = 0\) ta được \( - 5 - 2.0 + 0 - 5 =  - 10 \ne 0\) nên \(N \notin \left( P \right).\)

Khoảng cách từ A đến \(\left( \alpha  \right)\)là: \(d(A,\left( \alpha  \right))=\frac{\left| -1-2.3-2.(-2)+5 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\frac{2}{3}\) .

\(d\left( A;\left( P \right) \right)=\frac{\left| 2a+2b \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}=2\sqrt{2}\Leftrightarrow {{\left( a+b \right)}^{2}}=2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\Leftrightarrow {{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}=0\Leftrightarrow {{\left( a-b \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow a=b\)

\(\left( P \right):2x-y+3z-1=0\), \(\left( Q \right):4x-2y+6z-1=0\)

Ta có:  \(\frac{2}{4}=\frac{-1}{-2}=\frac{3}{6}\ne \frac{-1}{-1}\Rightarrow \)(P) và (Q) song song với nhau.

Véc tơ \(\overrightarrow n \left( { \ne \overrightarrow 0 } \right)\) là một véc tơ pháp tuyến (VTPT) của mặt phẳng \(\left( P \right) \Leftrightarrow \overrightarrow n  \bot \left( P \right)\).

Hai véc tơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \left( { \ne \overrightarrow 0 } \right)\) được gọi là cặp véc tơ chỉ phương (VTCP) của \(\left( P \right)\) nếu giá của chúng nằm trong \(\left( P \right)\) hoặc song song với \(\left( P \right)\).

Nếu \(\overrightarrow n \) là một VTPT của \(\left( P \right)\) thì \(k.\overrightarrow n \left( {k \ne 0} \right)\) cũng là VTPT của \(\left( P \right)\).

Hai véc tơ không cùng phương \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) được gọi là cặp véc tơ chỉ phương (VTCP) của \(\left( P \right)\) nếu giá của chúng nằm trong \(\left( P \right)\) hoặc song song với \(\left( P \right)\).

Từ định nghĩa ta thấy hai véc tơ đó muốn là cặp VTCP thì chúng phải không cùng phương.