Phương trình mặt phẳng - Lý thuyết

Vì tích có hướng của hai vecto là một vecto vuông góc với cả hai vecto ban đầu nên nó vuông góc với mặt phẳng $(P)$.

Nếu \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) là cặp VTCP của \(\left( P \right)\) thì \(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]\) là một VTPT của \(\left( P \right)\).

- Một mặt phẳng có vô số VTPT nên A đúng.

- Véc tơ \(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]\) là một VTPT của \(\left( P \right)\) nên mọi véc tơ cùng phương với nó đều là VTPT của \(\left( P \right)\), do đó B đúng, C sai.

- Hai véc tơ muốn là VTCP của mặt phẳng thì chúng phải không cùng phương nên D đúng.

Ta có: \(\overrightarrow a  = \left( {5;1;3} \right),\overrightarrow b  = \left( { - 1; - 3; - 5} \right)\)

\(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}1\\ - 3\end{array}&\begin{array}{l}3\\ - 5\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}3\\ - 5\end{array}&\begin{array}{l}5\\ - 1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}5\\ - 1\end{array}&\begin{array}{l}1\\ - 3\end{array}\end{array}} \right|} \right) = \left( {4;22; - 14} \right)\)

Do đó \(\overrightarrow n  = \left( {4;22; - 14} \right)\) là một VTPT của \(\left( P \right)\) nên \(\dfrac{1}{2}\overrightarrow n  = \left( {2;11; - 7} \right)\) cũng là một VTPT của \(\left( P \right)\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {a;b;c} \right)\) làm VTPT thì \(\left( P \right)\) có phương trình:

\(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0\)

Mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz + d = 0\) có một VTPT là \(\overrightarrow n  = \left( {a;b;c} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( P \right):ax - by - cz - d = 0\) có một VTPT là \(\overrightarrow n  = \left( {a; - b; - c} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( P \right):2x - z + 1 = 0 \Leftrightarrow 2.x + 0.y + \left( { - 1} \right).z + 1 = 0\) nên \(\left( P \right)\) có một VTPT là \(\left( {2;0; - 1} \right)\)

Hai mặt phẳng song song nếu \(\overrightarrow n  = k.\overrightarrow {n'} \) và \(d \ne k.d'\).

Trong trường hợp \(a'b'c' \ne 0\) thì \(\dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{c}{{c'}} \ne \dfrac{d}{{d'}}\).

Hai mặt phẳng trùng nhau nếu \(\overrightarrow n  = k.\overrightarrow {n'} \) và \(d = k.d'\) \((k \ne 0)\)  .

Trường hợp \(a'b'c'd' \ne 0\) thì \(\dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{c}{{c'}} = \dfrac{d}{{d'}} = k \Rightarrow a = ka';b = kb';c = kc';d = kd'\).

Do đó các đáp án A, B, D đúng và C sai.

Nếu có \(\dfrac{a}{{a'}} \ne \dfrac{b}{{b'}}\) thì \(\overrightarrow n  \ne k.\overrightarrow {n'} \) và ta kết luận được ngay hai mặt phẳng cắt nhau.

Nếu có \(\dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{c}{{c'}}\) thì ta chưa kết luận được gì vì còn phụ thuộc vào tỉ số \(\dfrac{d}{{d'}}\) nên các đáp án A hoặc B đúng.

Khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến \(\left( P \right):ax + by + cz + d = 0\) là \(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)

Ta có: \(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {1 - 3.2 + 0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2} + {1^2}} }} = \dfrac{5}{{\sqrt {11} }} = \dfrac{{5\sqrt {11} }}{{11}}\)

Ta có:

\(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {0 - 1 + 1 - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\) và \(d\left( {M,\left( Q \right)} \right) = \dfrac{{\left| {0 + 1 + 1 - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = 0\) nên A sai, D sai, B đúng.

Do đó \(M \in \left( Q \right),M \notin \left( P \right)\) nên C sai.

Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right),\left( Q \right)\) có:

$\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \dfrac{{\left| {a.a' + b.b' + c.c'} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {a{'^2} + b{'^2} + c{'^2}} }}$

Ta có: $\cos \beta  = \cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right|$ $ = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \dfrac{{\left| {a.a' + b.b' + c.c'} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {a{'^2} + b{'^2} + c{'^2}} }}$

Do đó \(0 \le \beta  \le {90^0}\), trong khi \(0 \le \alpha  \le {180^0}\) nên hai góc này có thể bằng nhau cũng có thể bù nhau, do đó A, B sai.

Ngoài ra, khi \(\alpha = \beta \) hay \(\alpha =180^0 -  \beta \) thì ta đều có \(\sin \alpha  = \sin \beta \) nên C đúng.

D sai trong trường hợp hai góc bù nhau.

Dễ thấy \(2.1 - \left( { - 3} \right) + \left( { - 4} \right) - 1 = 0\)\( \Rightarrow \) điểm \(Q\) thuộc \(\left( P \right)\)

Mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) có phương trình là \(y = 0\)

Ta thấy điểm \(O\left( {0;0;0} \right)\) thuộc mặt phẳng \(\left( {{P_3}} \right):2x + 3y - z = 0\) vì 2.0+3.0-0=0.

Mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y - z + 2 = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {{n_P}} \left( {1; - 2; - 1} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( Q \right):x - 2y - z + 2 = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {{n_Q}} \left( {2; - 1;1} \right)\).

Khi đó ta có: \(\cos \angle \left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}\)\( = \dfrac{{\left| {1.2 - 2.\left( { - 1} \right) - 1.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\).

Vậy \(\angle \left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) = {60^0}\).