Câu hỏi:
2 năm trước
Trong không gian \(Oxyz,\) cho hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 3 + 2t\\z = - 1 - t\end{array} \right.\) và\({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 7 + 3s\\y = 1 - s\\z = 5 - s\end{array} \right.\) . Khoảng cách giữa hai đường thẳng đã cho bằng
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Ta có đường thẳng \({d_1}\) đi qua \({M_1}\left( { - 1;3; - 1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;2; - 1} \right)\) làm VTCP
Đường thẳng \({d_2}\) đi qua \({M_2}\left( {7;1;5} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {3; - 1; - 1} \right)\) làm VTCP
Xét \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 3; - 2; - 7} \right);\,\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( {8; - 2;6} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{M_1}{M_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 3} \right).8 + \left( { - 2} \right).\left( { - 2} \right) + \left( { - 7} \right).6 = - 62 \ne 0\)
Nên \({d_1};{d_2}\) chéo nhau.
Suy ra khoảng cách \(d\left( {{d_1};{d_2}} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}} = \dfrac{{\left| { - 62} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 7} \right)}^2}} }} = \sqrt {62} \)
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng \({d_1}\) đi qua \({M_1}\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow {{u_1}} \)
Đường thẳng \({d_2}\) đi qua \({M_2}\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow {{u_2}} \)
Và hai đường thẳng chéo nhau thì khoảng cách giữa \({d_1};{d_2}\) là \(d\left( {{d_1};{d_2}} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}}\)
