Câu hỏi:
2 năm trước
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(\left( {Oxyz} \right)\). Cho đường thẳng \(\left( d \right):\dfrac{{x - 4}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{1}\). Đường thẳng \(\left( d_1 \right)\) đi qua điểm \(A\left( {0;1;2} \right),\)\(\left( {{d_1}} \right)\) cắt và vuông góc với \(\left( d \right).\)\(\left( {{d_1}} \right)\) có phương trình là
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
Gọi mặt phẳng \(\left( P \right)\)là mặt phẳng đi qua \(A\left( {0;1;2} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(\left( d \right):\dfrac{{x - 4}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{1}\)
Khi đó mặt phẳng \(\left( P \right)\) có 1 vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \overrightarrow {{u_d}} = \left( {2; - 1;1} \right)\).
\( \Rightarrow \) Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là: \(2\left( {x - 0} \right) - 1\left( {y - 1} \right) + 1\left( {z - 2} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 2x - y + z - 1 = 0\).
Gọi \(M = d \cap \left( P \right)\).
\(\begin{array}{l}M \in d \Rightarrow M\left( {4 + 2t;\,\,1 - t;\,\,t} \right)\\M \in \left( P \right):\,\,2x - y + z - 1 = 0\\ \Rightarrow 2\left( {4 + 2t} \right) - \left( {1 - t} \right) + t - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 6t + 6 = 0 \Leftrightarrow t = - 1\\ \Rightarrow M\left( {2;2; - 1} \right)\end{array}\)
Khi đó đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) đi qua \(A\left( {0;1;2} \right),\,\,M\left( {2;2; - 1} \right)\) nhận \(\overrightarrow {AM} = \left( {2;1; - 3} \right)\) là 1 VTCP.
Vậy phương trình đường thẳng \({d_1}\) là: \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 3}}\).
Hướng dẫn giải:
- Viết phương trình mặt phẳng\(\left( P \right)\) đi qua A và vuông góc với d.
- Tìm tọa độ điểm \(M = d \cap \left( P \right)\).
- Đường thẳng \({d_1}\) chính là đường thẳng đi qua \(A,\,\,M\).
- Phương trình đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\) có phương trình \(\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}\).
