Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai đường thẳng
\({d_1}:\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 1}}\) và \({d_2}:\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 3}}{1}\).
Tính \({\rm{cosin}}\) của góc giữa hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\).
Đường thẳng \({d_1}\) có VTCP \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;2; - 1} \right)\).
Đường thẳng \({d_2}\) có VTCP \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1; - 2;1} \right)\).
Ta có \(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = \dfrac{{\left| {2 - 4 - 1} \right|}}{{\sqrt {4 + 4 + 1} .\sqrt {1 + 4 + 1} }} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{6}\).
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai đường thẳng
${d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = - \sqrt 2 t\\z = 2 + t\end{array} \right.$ và ${d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 + \sqrt 2 t\\z = 2 + mt\end{array} \right.$.
Để hai đường thẳng hợp với nhau một góc bằng ${60^0}$ thì giá trị của $m$ bằng:
Đường thẳng ${d_1}$ có VTCP $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - \sqrt 2 ;1} \right)$, ${d_2}$ có VTCP $\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;\sqrt 2 ;m} \right)$.
Do đó $cos{60^0} = \cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right|}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \dfrac{{\left| {m - 1} \right|}}{{2\sqrt {{m^2} + 3} }} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow m = - 1$.
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai đường thẳng
${d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - t\\y = - 1 + 4t\\z = 3t\end{array} \right.$ và ${d_2}:\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y + 8}}{{ - 4}} = \dfrac{{z + 3}}{{ - 3}}$.
Xác định góc giữa hai đường thẳng ${d_1}$ và \({d_2}\).
Đường thẳng ${d_1}$ có VTCP $\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 1;4;3} \right)$, ${d_2}$ có VTCP $\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1; - 4; - 3} \right) = - \overrightarrow {{u_1}} $.
Do đó góc giữa \({d_1}\) và \({d_2}\) bằng \({0^0}\).
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho các điểm $A\left( {1;1;1} \right)$, $B\left( {2; - 1;3} \right)$, $C\left( { - 1; - 1; - 2} \right)$ và $D\left( { - 3;5; - 3} \right)$.
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$.
Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 2;2} \right)$, $\overrightarrow {CD} = \left( { - 2;6; - 1} \right)$ và $\overrightarrow {AC} = \left( { - 2; - 2; - 3} \right)$.
Suy ra $\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right] = \left( { - 10; - 3;2} \right)$. Do đó $d\left[ {AB,CD} \right] = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right].\overrightarrow {AC} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right]} \right|}} = \dfrac{{20}}{{\sqrt {113} }}$.
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai đường thẳng lần lượt có phương trình là
${d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2\\z = - t\end{array} \right.$ và ${d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - t\\y = 4 + t\\z = 4\end{array} \right.$.
Độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng ${d_1}$ và $\,{d_2}$ bằng:
Đường thẳng \({d_1}\) có VTCP $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;0; - 1} \right)$, \({d_2}\) có VTCP $\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 1;1;0} \right)$.
Gọi $M\left( {1 + 2t;2; - t} \right) \in {d_1}$ và $N\left( {3 - t';4 + t';4} \right) \in {d_2}$. Suy ra $\overrightarrow {MN} = \left( {2 - t' - 2t;2 + t';4 + t} \right)$.
Mà $MN$ là đoạn vuông góc chung của ${d_1}$ và ${d_2}$ nên $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} = 0\\\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} = 0\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( {2 - t' - 2t} \right) - 4 - t = 0\\ - \left( {2 - t' - 2t} \right) + 2 + t' = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow t = t' = 0 \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {2;2;4} \right) \Rightarrow MN = 2\sqrt 6 $.
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai đường thẳng lần lượt có phương trình
\({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + at\\y = t\\z = - 1 + 2t\end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 2 + 2t\\z = 3 - t\end{array} \right.\).
Với giá trị nào của \(a\) thì \({d_1}\) và \({d_2}\) cắt nhau?
Để \({d_1}\) và \({d_2}\) cắt nhau khi và chỉ khi hệ
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 + at = 1 - t'}&{\left( 1 \right)}\\{t = 2 + 2t'}&{\left( 2 \right)}\\{ - 1 + 2t = 3 - t'}&{\left( 3 \right)}\end{array}} \right.\) có nghiệm duy nhất.
Từ \(\left( 2 \right)\) và \(\left( 3 \right)\), ta có \(t = 2\) và \(t' = 0\). Thay vào \(\left( 1 \right)\), ta được \(a = 0\).
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( {2; - 6;3} \right)\) và đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = - 2 - 2t\\z = t\end{array} \right.\). Tọa độ hình chiếu vuông góc của \(M\) lên \(d\) là:
Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) lên \(d\).
Suy ra \(H \in d\) nên \(H\left( {1 + 3t; - 2 - 2t;t} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {MH} = \left( {3t - 1;4 - 2t;t - 3} \right)\).
Đường thẳng \(d\) có một VTCP là \(\overrightarrow u = \left( {3; - 2;1} \right)\).
Ta có \(MH \bot d\) nên \(\overrightarrow {MH} .\overrightarrow u = 0 \Leftrightarrow 3\left( {3t - 1} \right) - 2\left( {4 - 2t} \right) + \left( {t - 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow H\left( {4; - 4;1} \right)\).
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 2 + 3t\\z = 6 - 4t\end{array} \right.\) và \({d_2}:\dfrac{{x + 4}}{6} = \dfrac{{y - 2}}{2} = \dfrac{{z + 5}}{3}\). Mệnh đề nào sau đây đúng:
Đường thẳng \({d_1}\) qua \({M_1}\left( {0; - 2;6} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;3; - 4} \right)\),
\({d_2}\) qua \({M_2}\left( { - 4;2; - 5} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {6;2;3} \right)\).
+) \(\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = 6 + 6 - 12 = 0 \Rightarrow {d_1} \bot {d_2}\)\(\left( 1 \right)\)
+) \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {17; - 27; - 16} \right),\,\,\,\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( { - 4;4; - 11} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{M_1}{M_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} } \right] = - 68 - 108 + 176 = 0\)
Vậy \({d_1}\) cắt \({d_2}\) và vuông góc với nhau.
Cho \(d,d'\) là các đường thẳng có VTCP lần lượt là \(\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} ,M \in d,M' \in d'\). Khi đó \(d \equiv d'\) nếu:
\(d \equiv d' \Leftrightarrow \overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} ,\overrightarrow {MM'} \) đôi một cùng phương \( \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {MM'} } \right] = \overrightarrow 0 \)
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 3t\\y = - t\\z = 1 - 2t\end{array} \right.\) và \({d_2}:\dfrac{{x - 1}}{{ - 3}} = \dfrac{{y - 2}}{1} = \dfrac{{z - 3}}{2}\).
Vị trí tương đối của \({d_1}\) và \({d_2}\) là:
Đường thẳng \({d_1}\) đi qua \({M_1}\left( { - 1;0;1} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {3; - 1; - 2} \right)\).
Đường thẳng \({d_2}\) đi qua \({M_2}\left( {1;2;3} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 3;1;2} \right)\).
Ta có \(\dfrac{3}{{ - 3}} = \dfrac{{ - 1}}{1} = \dfrac{{ - 2}}{2}\) nên \(\overrightarrow {{u_1}} \parallel \overrightarrow {{u_2}} \). \(\left( 1 \right)\)
\(\dfrac{{ - 1 - 1}}{{ - 3}} \ne \dfrac{{0 - 2}}{1} \ne \dfrac{{1 - 3}}{2}\) nên \({M_1} \notin {d_2}\). \(\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\), suy ra \({d_1}\) và \({d_2}\) song song.
Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng cắt nhau là:
\(d\) cắt \(d' \Leftrightarrow \overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} \) không cùng phương và \(\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} ,\overrightarrow {MM'} \) đồng phẳng \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] \ne \overrightarrow 0 \\\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right]\overrightarrow {MM'} = 0\end{array} \right.\)
Cho \(d,d'\) là các đường thẳng có VTCP lần lượt là \(\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} ,M \in d,M' \in d'\). Nếu \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right]\overrightarrow {MM'} \ne 0\) thì:
Ta có: \(d\) chéo \(d' \Leftrightarrow \overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} ,\overrightarrow {MM'} \) không đồng phẳng \( \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right]\overrightarrow {MM'} \ne 0\).
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai đường thẳng
\({d_1}:\dfrac{{x - 3}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{2} = \dfrac{{z - 1}}{1}\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2\\z = 2 + t\end{array} \right.\).
Vị trí tương đối của \({d_1}\) và \({d_2}\) là:
Đường thẳng \({d_1}\) đi qua \({M_1}\left( {3;2;1} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;2;1} \right)\).
Đường thẳng \({d_2}\) đi qua \({M_2}\left( {0;2;2} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;0;1} \right)\).
Ta có \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {2;0; - 2} \right)\), \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( { - 3;0;1} \right)\).
Suy ra \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = - 6 + 0 - 2 = - 8 \ne 0\).
Do đó \({d_1}\) và \({d_2}\) chéo nhau.
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = - t\\z = - 2 - t\end{array} \right.\). Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào vuông góc với \(d\)?
Đường thẳng \({d_1}\) có VTCP \({\overrightarrow u _{_1}} = \left( {3;1;5} \right)\), đường thẳng \(d\) có VTCP \({\overrightarrow u _{_d}} = \left( {2; - 1; - 1} \right)\).
Vì \({\overrightarrow u _{_d}}.{\overrightarrow u _{_1}} = 3.2 - 1.1 - 5.1 = 0\).
Công thức tính khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(d'\) đi qua điểm \(M'\) và có VTCP \(\overrightarrow {u'} \) là:
Khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(d'\) được tính theo công thức \(d\left( {A,d'} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AM'} ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}}\)
Khoảng cách từ điểm \(M\left( {2;0;1} \right)\) đến đường thẳng $\Delta :\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z - 2}}{1}$ là:
Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\left( {1;0;2} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow u = \left( {1;2;1} \right)\). Khi đó:
\(\overrightarrow {MA} = \left( { - 1;0;1} \right),\overrightarrow u = \left( {1;2;1} \right) \)
$\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow u } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}0\\2\end{array}&\begin{array}{l}1\\1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}1\\1\end{array}&\begin{array}{l} - 1\\1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l} - 1\\1\end{array}&\begin{array}{l}0\\2\end{array}\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 2;2; - 2} \right)$
Vậy $d\left( {M,\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \dfrac{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {2^2}} }}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \sqrt 2 $
Cho hai điểm \(A\left( {1; - 2;0} \right),B\left( {0;1;1} \right)\), độ dài đường cao \(OH\) của tam giác \(OAB\) là:
Ta có: \(\overrightarrow {OA} = \left( {1; - 2;0} \right),\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;3;1} \right)\)
$ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l} - 2\\3\end{array}&\begin{array}{l}0\\1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}0\\1\end{array}&\begin{array}{l}1\\ - 1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}1\\ - 1\end{array}&\begin{array}{l} - 2\\3\end{array}\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 2; - 1;1} \right)$
Do đó \(OH = d\left( {O,AB} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {AB} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}} = \dfrac{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} }}{{\sqrt {{1^2} + {3^2} + {1^2}} }} = \dfrac{{\sqrt {66} }}{{11}}\)
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai đường thẳng
\({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 0\\z = - 5 + t\end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 4 - 2t'\\z = 5 + 3t'\end{array} \right.\).
Phương trình đường vuông góc chung của \({d_1}\) và \({d_2}\) là:
Gọi \(M\left( {1 + t;0;t - 5} \right) \in {d_1}\), \(N\left( {0;4 - 2t';5 + 3t'} \right) \in {d_2}\).
Suy ra \(\overrightarrow {MN} = \left( { - 1 - t;4 - 2t';10 + 3t' - t} \right)\).
Đường thẳng \({d_1}\) có VTCP \(\overrightarrow a = \left( {1;0;1} \right)\), \({d_2}\) có VTCP \(\overrightarrow b = \left( {0; - 2;3} \right)\).
Để \(MN\) là đoạn vuông góc chung thì \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} .\overrightarrow a = 0\\\overrightarrow {MN} .\overrightarrow b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 3\\t' = - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}M\left( {4;0; - 2} \right)\,\\N\left( {0;6;2} \right)\end{array} \right.\).
Phương trình đường vuông góc chung là \(MN:\dfrac{{x - 4}}{{ - 2}} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{{z + 2}}{2}\).
Cho hai đường thẳng \(\Delta ,\Delta '\) có VTCP lần lượt là \(\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} \) và đi qua các điểm \(M,M'\). Khi đó:
Khoảng cách giữa hai đường thẳng: \(d\left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}}\)
Khoảng cách giữa hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = - 1 + t\\z = 1\end{array} \right.,{d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1 + t\\z = 3 - t\end{array} \right.\) là:
Đường thẳng \({d_1}\) đi qua \({M_1}\left( {2; - 1;1} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;1;0} \right)\).
Đường thẳng \({d_2}\) đi qua \({M_2}\left( {1;1;3} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {0;1; - 1} \right)\).
Suy ra \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( { - 1;2;2} \right);\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}1\\1\end{array}&\begin{array}{l}0\\ - 1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}0\\ - 1\end{array}&\begin{array}{l}2\\0\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}2\\0\end{array}&\begin{array}{l}1\\1\end{array}\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 1;2;2} \right)\)
Vậy \(d\left( {{d_1},{d_2}} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}} = \dfrac{{\left| {\left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) + 2.2 + 2.2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = 3\)
