Các bài toán về mối quan hệ giữa hai đường thẳng

Đường thẳng ${d_1}$ có VTCP $\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {2;2; - 1} \right)$.

                 Đường thẳng ${d_2}$ có VTCP $\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {1; - 2;1} \right)$.

Ta có $\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = \dfrac{{\left| {2 - 4 - 1} \right|}}{{\sqrt {4 + 4 + 1} .\sqrt {1 + 4 + 1} }} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{6}$.

Đường thẳng ${d_1}$ có VTCP $\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1; - \sqrt 2 ;1} \right)$, ${d_2}$ có VTCP $\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {1;\sqrt 2 ;m} \right)$.

Do đó $cos{60^0} = \cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right|}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \dfrac{{\left| {m - 1} \right|}}{{2\sqrt {{m^2} + 3} }} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow m =  - 1$.

Đường thẳng ${d_1}$ có VTCP $\overrightarrow {{u_1}}  = \left( { - 1;4;3} \right)$, ${d_2}$ có VTCP $\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {1; - 4; - 3} \right) =  - \overrightarrow {{u_1}}$.

Do đó góc giữa ${d_1}$ và ${d_2}$ bằng ${0^0}$.

Ta có $\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 2;2} \right)$, $\overrightarrow {CD}  = \left( { - 2;6; - 1} \right)$ và $\overrightarrow {AC}  = \left( { - 2; - 2; - 3} \right)$.

Suy ra $\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right] = \left( { - 10; - 3;2} \right)$. Do đó $d\left[ {AB,CD} \right] = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right].\overrightarrow {AC} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right]} \right|}} = \dfrac{{20}}{{\sqrt {113} }}$.

Đường thẳng ${d_1}$ có VTCP $\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {2;0; - 1} \right)$, ${d_2}$ có VTCP $\overrightarrow {{u_2}}  = \left( { - 1;1;0} \right)$.

Gọi $M\left( {1 + 2t;2; - t} \right) \in {d_1}$ và $N\left( {3 - t';4 + t';4} \right) \in {d_2}$. Suy ra $\overrightarrow {MN}  = \left( {2 - t' - 2t;2 + t';4 + t} \right)$.

Mà $MN$ là đoạn vuông góc chung của ${d_1}$ và ${d_2}$ nên $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_{{d_1}}}}  = 0\\\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_{{d_2}}}}  = 0\end{array} \right.$

      $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( {2 - t' - 2t} \right) - 4 - t = 0\\ - \left( {2 - t' - 2t} \right) + 2 + t' = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow t = t' = 0 \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( {2;2;4} \right) \Rightarrow MN = 2\sqrt 6$.

Để ${d_1}$ và ${d_2}$ cắt nhau khi và chỉ khi hệ

                    $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 + at = 1 - t'}&{\left( 1 \right)}\\{t = 2 + 2t'}&{\left( 2 \right)}\\{ - 1 + 2t = 3 - t'}&{\left( 3 \right)}\end{array}} \right.$ có nghiệm duy nhất.

Từ $\left( 2 \right)$ và $\left( 3 \right)$, ta có $t = 2$ và $t' = 0$. Thay vào $\left( 1 \right)$, ta được $a = 0$.

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $d$.

Suy ra $H \in d$ nên $H\left( {1 + 3t; - 2 - 2t;t} \right)$$\Rightarrow \overrightarrow {MH}  = \left( {3t - 1;4 - 2t;t - 3} \right)$.

Đường thẳng $d$ có một VTCP là $\overrightarrow u  = \left( {3; - 2;1} \right)$.

Ta có $MH \bot d$ nên $\overrightarrow {MH} .\overrightarrow u  = 0 \Leftrightarrow 3\left( {3t - 1} \right) - 2\left( {4 - 2t} \right) + \left( {t - 3} \right) = 0$$\Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow H\left( {4; - 4;1} \right)$.

Đường thẳng ${d_1}$ qua ${M_1}\left( {0; - 2;6} \right)$ và có VTCP $\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1;3; - 4} \right)$,

${d_2}$ qua ${M_2}\left( { - 4;2; - 5} \right)$ và có VTCP $\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {6;2;3} \right)$.

+) $\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = 6 + 6 - 12 = 0 \Rightarrow {d_1} \bot {d_2}$$\left( 1 \right)$

+) $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {17; - 27; - 16} \right),\,\,\,\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( { - 4;4; - 11} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{M_1}{M_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} } \right] = - 68 - 108 + 176 = 0$

Vậy ${d_1}$ cắt ${d_2}$ và vuông góc với nhau.

$d \equiv d' \Leftrightarrow \overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} ,\overrightarrow {MM'}$ đôi một cùng phương $\Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {MM'} } \right] = \overrightarrow 0$

Đường thẳng ${d_1}$ đi qua ${M_1}\left( { - 1;0;1} \right)$ và có VTCP $\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {3; - 1; - 2} \right)$.

Đường thẳng ${d_2}$ đi qua ${M_2}\left( {1;2;3} \right)$ và có VTCP $\overrightarrow {{u_2}}  = \left( { - 3;1;2} \right)$.

Ta có $\dfrac{3}{{ - 3}} = \dfrac{{ - 1}}{1} = \dfrac{{ - 2}}{2}$ nên $\overrightarrow {{u_1}} \parallel \overrightarrow {{u_2}}$.   $\left( 1 \right)$

$\dfrac{{ - 1 - 1}}{{ - 3}} \ne \dfrac{{0 - 2}}{1} \ne \dfrac{{1 - 3}}{2}$ nên ${M_1} \notin {d_2}$.    $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, suy ra ${d_1}$ và ${d_2}$ song song.

$d$ cắt $d' \Leftrightarrow \overrightarrow u ,\overrightarrow {u'}$ không cùng phương và $\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} ,\overrightarrow {MM'}$ đồng phẳng $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] \ne \overrightarrow 0 \\\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right]\overrightarrow {MM'}  = 0\end{array} \right.$

Ta có: $d$ chéo $d' \Leftrightarrow \overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} ,\overrightarrow {MM'}$  không đồng phẳng $\Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right]\overrightarrow {MM'}  \ne 0$.

Đường thẳng ${d_1}$ đi qua ${M_1}\left( {3;2;1} \right)$ và có VTCP $\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1;2;1} \right)$.

Đường thẳng ${d_2}$ đi qua ${M_2}\left( {0;2;2} \right)$ và có VTCP $\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {1;0;1} \right)$.

Ta có $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {2;0; - 2} \right)$, $\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = \left( { - 3;0;1} \right)$.

Suy ra $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  =  - 6 + 0 - 2 =  - 8 \ne 0$.

Do đó ${d_1}$ và ${d_2}$ chéo nhau.

Đường thẳng ${d_1}$ có VTCP ${\overrightarrow u _{_1}} = \left( {3;1;5} \right)$, đường thẳng $d$ có VTCP ${\overrightarrow u _{_d}} = \left( {2; - 1; - 1} \right)$.

Vì ${\overrightarrow u _{_d}}.{\overrightarrow u _{_1}} = 3.2 - 1.1 - 5.1 = 0$.

Khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $d'$ được tính theo công thức $d\left( {A,d'} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AM'} ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}}$

Đường thẳng $\Delta$ đi qua $A\left( {1;0;2} \right)$ và có VTCP $\overrightarrow u  = \left( {1;2;1} \right)$. Khi đó:

$\overrightarrow {MA}  = \left( { - 1;0;1} \right),\overrightarrow u  = \left( {1;2;1} \right)$

$\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow u } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}0\\2\end{array}&\begin{array}{l}1\\1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}1\\1\end{array}&\begin{array}{l} - 1\\1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l} - 1\\1\end{array}&\begin{array}{l}0\\2\end{array}\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 2;2; - 2} \right)$

Vậy $d\left( {M,\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \dfrac{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {2^2}} }}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \sqrt 2$ 

Ta có: $\overrightarrow {OA}  = \left( {1; - 2;0} \right),\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1;3;1} \right)$

$\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l} - 2\\3\end{array}&\begin{array}{l}0\\1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}0\\1\end{array}&\begin{array}{l}1\\ - 1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}1\\ - 1\end{array}&\begin{array}{l} - 2\\3\end{array}\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 2; - 1;1} \right)$

Do đó $OH = d\left( {O,AB} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {AB} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}} = \dfrac{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} }}{{\sqrt {{1^2} + {3^2} + {1^2}} }} = \dfrac{{\sqrt {66} }}{{11}}$

Gọi $M\left( {1 + t;0;t - 5} \right) \in {d_1}$, $N\left( {0;4 - 2t';5 + 3t'} \right) \in {d_2}$.

Suy ra $\overrightarrow {MN}  = \left( { - 1 - t;4 - 2t';10 + 3t' - t} \right)$.

Đường thẳng ${d_1}$ có VTCP $\overrightarrow a  = \left( {1;0;1} \right)$, ${d_2}$ có VTCP $\overrightarrow b  = \left( {0; - 2;3} \right)$.

Để $MN$ là đoạn vuông góc chung thì $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} .\overrightarrow a  = 0\\\overrightarrow {MN} .\overrightarrow b  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 3\\t' =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}M\left( {4;0; - 2} \right)\,\\N\left( {0;6;2} \right)\end{array} \right.$.

Phương trình đường vuông góc chung là $MN:\dfrac{{x - 4}}{{ - 2}} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{{z + 2}}{2}$.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng: $d\left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}}$

Đường thẳng ${d_1}$ đi qua ${M_1}\left( {2; - 1;1} \right)$ và có VTCP $\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {2;1;0} \right)$.

Đường thẳng ${d_2}$ đi qua ${M_2}\left( {1;1;3} \right)$ và có VTCP $\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {0;1; - 1} \right)$.

Suy ra $\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = \left( { - 1;2;2} \right);\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}1\\1\end{array}&\begin{array}{l}0\\ - 1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}0\\ - 1\end{array}&\begin{array}{l}2\\0\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}2\\0\end{array}&\begin{array}{l}1\\1\end{array}\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 1;2;2} \right)$

Vậy $d\left( {{d_1},{d_2}} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}} = \dfrac{{\left| {\left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) + 2.2 + 2.2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = 3$