Các bài toán về mối quan hệ giữa hai đường thẳng

Đường thẳng \({d_1}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {2; - 1;1} \right)\).

Gọi \(B = \Delta  \cap {d_2}\) suy ra \(B \in {d_2}\) nên \(B\left( {1 - t;1 + 2t; - 1 + t} \right)\).

Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - t;2t - 1;t - 4} \right)\).

Theo giả thiết, ta có \(\Delta  \bot {d_1}\) nên \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_1}}  = 0 \Leftrightarrow 2\left( { - t} \right) - 1\left( {2t - 1} \right) + \left( {t - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow t =  - 1 \Rightarrow B\left( {2; - 1; - 2} \right)\).

Khi đó \(\Delta \) đi qua hai điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\) và \(B\left( {2; - 1; - 2} \right)\) nên $\vartriangle :\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 3}} = \dfrac{{z - 3}}{{ - 5}}$.

Góc giữa hai đường thẳng có các VTCP lần lượt là \(\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} \): $\cos \varphi  = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow {u'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}}$

Gọi \(C\left( {x;y;z} \right)\) ta có:

\(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - 0 = x - 0\\0 - 0 = y - 1\\0 - 0 = z - 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\\z = 0\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {1;1;0} \right)\)

Lại có

\(\begin{array}{l}M\left( {\dfrac{1}{2};0;0} \right),N\left( {\dfrac{1}{2};1;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( {0;1;0} \right),\overrightarrow {A'C}  = \left( {1;1; - 1} \right),\overrightarrow {MA'}  = \left( { - \dfrac{1}{2};0;1} \right)\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {A'C} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}1\\1\end{array}&\begin{array}{l}0\\ - 1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}0\\ - 1\end{array}&\begin{array}{l}0\\1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}0\\1\end{array}&\begin{array}{l}1\\1\end{array}\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 1;0; - 1} \right)\end{array}\)

Vậy \(d\left( {MN,A'C} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {A'C} } \right].\overrightarrow {MA'} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {A'C} } \right]} \right|}} = \dfrac{{\left| {\left( { - 1} \right).\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) + 0.0 + \left( { - 1} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}\) 

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1;0; - 2} \right)\), \(\overrightarrow {CD}  = \left( { - 2;m - 2;0} \right)\) và \(\overrightarrow {AC}  = \left( {2;2; - 2} \right)\).

Suy ra \(\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right] = \left( {2m - 4;4;m - 2} \right)\).

Do đó \(d\left[ {AB,CD} \right] = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right].\overrightarrow {AC} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right]} \right|}} \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {2\left( {2m - 4} \right) + 8 - 2\left( {m - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {2m - 4} \right)}^2} + {4^2} + {{\left( {m - 2} \right)}^2}} }} = 2\)

\( \Leftrightarrow \left| {2m + 4} \right| = 2\sqrt {5{m^2} - 20m + 36}  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 4\\m = 2\end{array} \right.\).

A: \(\dfrac{{4 - 1}}{3} = \dfrac{{0 + 2}}{2} = \dfrac{{ - 1 - 3}}{{ - 4}} = 1 \Rightarrow N \in d\)

B:\(\dfrac{{1 - 1}}{3} = \dfrac{{ - 2 + 2}}{2} = \dfrac{{3 - 3}}{{ - 4}} = 0 \Rightarrow M \in d\)

C: \(\dfrac{{7 - 1}}{3} = \dfrac{{2 + 2}}{2} \ne \dfrac{{1 - 3}}{{ - 4}} \Rightarrow P \notin d\) và \(\dfrac{{7 + 1}}{4} = \dfrac{2}{1} \ne \dfrac{{1 + 1}}{2} \Rightarrow P \notin d'\)

D: \(\dfrac{{7 - 1}}{3} = \dfrac{{2 + 2}}{2} \ne \dfrac{{3 - 3}}{{ - 4}} \Rightarrow Q \notin d\) và \(\dfrac{{7 + 1}}{4} = \dfrac{2}{1} = \dfrac{{3 + 1}}{2} \Rightarrow Q \in d'\)

Gọi \(M = d \cap d';\) do \(M \in d \Rightarrow M\left( { - 3 + 2t; - 2 + 3t;6 + 4t} \right)\)

\(M \in d' \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 + 2t = 5 + t'\\ - 2 + 3t =  - 1 - 4t'\\6 + 4t = 20 + t'\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 3\\t' = -2\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {3;7;18} \right)\)

Gọi \(M'\) là hình chiếu của \(M\) trên  \(d\).

$d$ có vectơ chỉ phương \({\vec u_d} = (2;1;2)\).

\(M'(3 + 2t; - 1 + t;1 + 2t) \Rightarrow \overrightarrow {MM'}  = (2 + 2t; - 3 + t;4 + 2t)\)

Tacó\(MM' \bot d\) nên

\(\overrightarrow {MM'} .{\vec u_d} = 0 \Leftrightarrow (2 + 2t).2 + ( - 3 + t).1 + (4 + 2t).2 = 0 \Leftrightarrow 9t + 9 = 0 \Leftrightarrow t =  - 1 \)

$\Rightarrow M'(1; - 2; - 1)$.

Ta có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow {{u_d}} ( - 3;1; - 2);\overrightarrow {{u_{d'}}} (6; - 2;4) \Rightarrow \overrightarrow {{u_{d'}}}  =  - 2\overrightarrow {{u_d}} \\A(2; - 2; - 1) \in d; \notin d'\\ \Rightarrow d//d'\end{array}$

\({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + t\\z = 3\end{array} \right.\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1;1;0} \right),\,\,\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right| = \sqrt 2 \)

\({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2 + 7t\\z = 3 + t\end{array} \right.\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {0;7;1} \right),\,\,\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right| = 5\sqrt 2 \)

Ta có: \(\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}}  = 0 + 7 + 0 > 0 \Rightarrow \left( {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right) < {90^0}\)

\( \Rightarrow \)Đường phân giác góc nhọn giữa \({d_1}\) và \({d_2}\) có 1 VTCP \(\overrightarrow u  = 5.\overrightarrow {{u_1}}  + \overrightarrow {{u_2}}  = \left( {5;12;1} \right)\)

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}1 + t = 1\\2 + t = 2 + 7t'\\3 = 3 + t'\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 0\\t' = 0\end{array} \right. \Rightarrow \) \({d_1}\) cắt \({d_2}\) tại điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\)

Phương trình đường phân giác của góc nhọn giữa \({d_1}\) và \({d_2}\) là:  \(\dfrac{{x - 1}}{5} = \dfrac{{y - 2}}{{12}} = \dfrac{{z - 3}}{1}\).

Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng qua \(M\left( { - 2; - 2;1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {2;2; - 1} \right)\) làm VTPT

Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right):2\left( {x + 2} \right) + 2\left( {y + 2} \right) - \left( {z - 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 2x + 2y - z + 9 = 0\)

Suy ra \(\Delta  \subset \left( P \right)\). Khi đó ta có \(d\left( {A,\Delta } \right) \ge d\left( {A,\left( P \right)} \right)\)

Lại có \(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2.1 + 2.2 - \left( { - 3} \right) + 9} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 6\)

Vậy khoảng cách nhỏ nhất là \(d = 6.\)

Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(B\) và vuông góc với \(d \Rightarrow \left( P \right):\,\,2x + y + z - 1 = 0\).

\(\Delta \) đi qua \(B\) và vuông góc với \(d \Rightarrow \Delta  \subset \left( P \right)\).

Gọi \(H,\,\,K\) lần lượt là hình chiếu của \(A\) lên \(\left( P \right)\) và \(\Delta \) ta có \(AH \le AK\).

Do đó để khoảng cách từ \(A\) đến \(\Delta \) là nhỏ nhất \( \Rightarrow H \in \Delta \).

Phương trình \(AH\) đi qua \(A\) và nhận \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {2;1;1} \right)\) là 1 VTCP là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 6 + 2t\\y = 3 + t\\z =  - 2 + t\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l}H \in AH \Rightarrow H\left( {6 + 2t;3 + t; - 2 + t} \right)\\H \in \left( P \right) \Rightarrow 2\left( {6 + 2t} \right) + 3 + t - 2 + t - 1 = 0 \Leftrightarrow 6t + 12 = 0 \Leftrightarrow t =  - 2\\ \Rightarrow H\left( {2;1; - 4} \right)\end{array}\)

\(\Delta \) đi qua \(B,\,\,H\) nhận \(\overrightarrow {BH} \left( {1;1; - 3} \right)\) là 1 VTCP.

Đường thẳng \(d:\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{1} = \dfrac{z}{{ - 2}}\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {2;1; - 2} \right)\), đây cũng là VTCP của đường thẳng đi qua A và song song với d.

Đường thẳng qua A và song song với d nhận \(\overrightarrow u  = \left( {2;1; - 2} \right)\) là VTCP, có phương trình tham số: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 1 + t\\z =  - 2 - 2t\end{array} \right.\).

Đường thẳng \(d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - t\\z = 1 - 3t\end{array} \right.\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {1; - 1; - 3} \right)\), trục \(Ox\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow i  = \left( {1;0;0} \right)\).

Gọi \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \) là 1 VTCP của đường thẳng \(\Delta \), ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta  \bot Ox\\\Delta  \bot d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow i  = 0\\\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left[ {\overrightarrow i ;\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( {0; - 3;1} \right)\).

Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(O\left( {0;0;0} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {0; - 3;1} \right)\) là: \(\Delta :\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y =  - 3t\\z = t\end{array} \right.\).

Bước 1: Xác định điểm M và VTCP của d.

Xét d có \(M\left( { - 2;2;11} \right) \in d\) và \(\overrightarrow u \left( {1;2; - 1} \right)\) là vecto chỉ phương của d.

Ta có:

\(\overrightarrow {AM} \left( { - 3;1;7} \right);\overrightarrow {AB} \left( { - 1; - 2;m - 4} \right)\)

Bước 2: 

Đường thẳng d, A, B đồng phẳng <=> \(\overrightarrow u ,\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AM} \) đồng phẳng.

<=> \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {AM} } \right].\overrightarrow {AB}  = 0\)                 

Bước 3:

Xét \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {AM} } \right].\overrightarrow {AB} \)

\(\begin{array}{l} = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\1&7\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&1\\7&{ - 3}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\{ - 3}&1\end{array}} \right|} \right).\overrightarrow {AB} \\ = \left( {15; - 4;7} \right).\left( { - 1; - 2;m - 4} \right)\end{array}\)

\( =  - 15 + 8 + 7m - 28 = 7m - 35\)

\(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {AM} } \right].\overrightarrow {AB}  = 0 \Leftrightarrow 7m - 35 = 0\)\( \Leftrightarrow m = 5\)

Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với đường thẳng (d) là:

\(2\left( {x + 1} \right) - 2\left( {y - 2} \right) + \left( {z - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2x - 2y + z + 5 = 0\)

Mặt phẳng (Q) qua B và vuông góc với (d) là:

\(2x - 2y + z - 6 = 0\)

Khi đó C là giao điểm của (P) và d, D là giao điểm của (Q) và d

\(CD = d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \dfrac{{11}}{3}\)

Đường thẳng d qua \(E\left( {4{m^2}; - 2m; - 2} \right)\) và nhận vecto chỉ phương \(\overrightarrow u \left( {2; - 2;1} \right)\)

Đường thẳng AB qua \(A\left( { - 1;2;1} \right)\) và nhận vecto chỉ phương \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2; - 4; - 1} \right)\)

Gọi \(\alpha \) là góc giữa 2 đường thẳng (d) và (AB), khi đó \(\sin \alpha \) là hằng số.

Khoảng cách giữa (d) và (AB) là: \(d\left( {d;AB} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {AB} } \right].\overrightarrow {AI} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {AB} } \right]} \right|}} = \dfrac{{24{m^2} - 8m + 10}}{{2\sqrt {17} }}\) min tại \(m = \dfrac{1}{6}\)

\({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}d\left( {d;AB} \right).CD.AB.\sin \alpha \) đạt giá trị nhỏ nhất

\( \Leftrightarrow d\left( {d;AB} \right)\min  \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{6} \Rightarrow m \in \left( {0;\dfrac{1}{4}} \right)\)

Giao điểm của \({d_1}\) và \({d_2}\) là \(A\left( {1;1;1} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {{u_{\left( {{d_1}} \right)}}}  = \left( {3;6;2} \right);\,\,\overrightarrow {{u_{\left( {{d_1}} \right)}}}  = \left( {2;1;2} \right)\)

\(\overrightarrow {{u_{\left( {{d_1}} \right)}}} .\overrightarrow {{u_{\left( {{d_1}} \right)}}}  > 0\) nên vecto chỉ phương của đường thẳng phân giác là:

\(\overrightarrow {{u_{d'}}} {\rm{ \;}} = \dfrac{{\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} }}{{\left| {\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} } \right|}} + \dfrac{{\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} }}{{\left| {\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right|}} \)\(= \left( {\dfrac{{23}}{{21}},\dfrac{{25}}{{21}},\dfrac{{20}}{{21}}} \right)\) hay \((23,25,20)\)

Phương trình đường thẳng phân giác:

\(\dfrac{{x - 1}}{{23}} = \dfrac{{y - 1}}{{25}} = \dfrac{{z - 1}}{{20}}\) hay \(\dfrac{{x - 24}}{{23}} = \dfrac{{y - 26}}{{25}} = \dfrac{{z - 21}}{{20}}\).