Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng

${d_1}:\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 1}}$ và ${d_2}:\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 3}}{1}$.

      Tính ${\rm{cosin}}$ của góc giữa hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$.

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left( {3;2;0} \right)$ và đường thẳng $\Delta :\,\,\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z + 1}}{2}$. Đường thẳng đi qua $A$, vuông góc và cắt $\Delta$ có phương trình là:

Trong không gian $Oxyz,$ vị trí tương đối giữa hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y =  - 4 - 3t\\z = 3 + 2t\end{array} \right.$ và $\left( {{d_2}} \right):\,\,\,\dfrac{{x - 5}}{3} = \dfrac{{y + 1}}{2} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 3}}$ là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $\left( {Oxyz} \right)$. Cho đường thẳng $\left( d \right):\dfrac{{x - 4}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{1}$. Đường thẳng $\left( d_1 \right)$ đi qua điểm $A\left( {0;1;2} \right),$$\left( {{d_1}} \right)$ cắt và vuông góc với $\left( d \right).$$\left( {{d_1}} \right)$ có phương trình là

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A(2; - 2;3),B(1;3;4)$ và $C(3; - 1;5)$. Đường thẳng đi qua $A$ và song song với $B C$ có phương trình là:

Trong không gian $Oxyz,$ cho hai đường thẳng ${\Delta _1}:\,\,\dfrac{{x - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{y + 2}}{1} = \dfrac{{z - 3}}{2}$ và ${\Delta _2}:\,\,\dfrac{{x + 3}}{1} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 4}}.$ Góc giữa hai đường thẳng ${\Delta _1},\,\,{\Delta _2}$ bằng:

Trong không gian $Oxyz,$  cho hai đường thẳng ${d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + t\\y = 3 + 2t\\z =  - 1 - t\end{array} \right.$  và${d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 7 + 3s\\y = 1 - s\\z = 5 - s\end{array} \right.$ . Khoảng cách giữa hai đường thẳng đã cho bằng

Cho $d,d'$ là các đường thẳng có VTCP lần lượt là $\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'}$. Nếu $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \overrightarrow 0$ thì: