Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai đường thẳng

${d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x =  - t\\y =  - 1 + 4t\\z = 3t\end{array} \right.$ và ${d_2}:\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y + 8}}{{ - 4}} = \dfrac{{z + 3}}{{ - 3}}$.

Xác định góc giữa hai đường thẳng ${d_1}$ và \({d_2}\).

Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {3;2;0} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :\,\,\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z + 1}}{2}\). Đường thẳng đi qua \(A\), vuông góc và cắt \(\Delta \) có phương trình là:

Trong không gian \(Oxyz,\) vị trí tương đối giữa hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y =  - 4 - 3t\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\) và \(\left( {{d_2}} \right):\,\,\,\dfrac{{x - 5}}{3} = \dfrac{{y + 1}}{2} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 3}}\) là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(\left( {Oxyz} \right)\). Cho đường thẳng \(\left( d \right):\dfrac{{x - 4}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{1}\). Đường thẳng \(\left( d_1 \right)\) đi qua điểm \(A\left( {0;1;2} \right),\)\(\left( {{d_1}} \right)\) cắt và vuông góc với \(\left( d \right).\)\(\left( {{d_1}} \right)\) có phương trình là

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A(2; - 2;3),B(1;3;4)\) và \(C(3; - 1;5)\). Đường thẳng đi qua \(A\) và song song với $B C$ có phương trình là:

Trong không gian \(Oxyz,\) cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:\,\,\dfrac{{x - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{y + 2}}{1} = \dfrac{{z - 3}}{2}\) và \({\Delta _2}:\,\,\dfrac{{x + 3}}{1} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 4}}.\) Góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1},\,\,{\Delta _2}\) bằng:

Trong không gian \(Oxyz,\)  cho hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + t\\y = 3 + 2t\\z =  - 1 - t\end{array} \right.\)  và\({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 7 + 3s\\y = 1 - s\\z = 5 - s\end{array} \right.\) . Khoảng cách giữa hai đường thẳng đã cho bằng

Cho \(d,d'\) là các đường thẳng có VTCP lần lượt là \(\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} \). Nếu \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \overrightarrow 0 \) thì: